Ensino Fundamental: Divisão Proporcional

Divisão em duas partes diretamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a p e q, montamos um sistema com duas equações e duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja A+B=M, mas

A
p
= B
q

A solução segue das propriedades das proporções:

A
p
= B
q
= A+B
p+q
= M
p+q
= K

O valor de K é que proporciona a solução pois:

A = K p  e  B = K q

Exemplo: Para decompor o número 100 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, montaremos o sistema de modo que A+B=100, cuja solução segue de:

A
2
= B
3
= A+B
5
= 100
5
= 20

Segue que A=40 e B=60.

Exemplo: Determinar números A e B diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo-se que a diferença entre eles é 60. Para resolver este problema basta tomar A-B=60 e escrever:

A
8
= B
3
= A-B
5
= 60
5
=12

Segue que A=96 e B=36.


Divisão em várias partes diretamente proporcionais

Para decompor um número M em partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-se montar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas X1+X2+...+Xn=M e p1+p2+...+pn=P.

X1
p1
= X2
p2
= ... = Xn
pn

A solução segue das propriedades das proporções:

X1
p1
= X2
p2
 =...=  Xn
pn
= X1+X2+...+Xn
p1+p2+...+pn
= M
P
= K

Exemplo: Para decompor o número 120 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas tal que A+B+C=120 e 2+4+6=P. Assim:

A
2
= B
4
= C
6
= A+B+C
P
= 120
12
=10

logo A=20, B=40 e C=60.

Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=120.

A solução segue das propriedades das proporções:

A
2
= B
4
= C
6
= 2A+3B-4C
2×2+3×4-4×6
= 120
-8
= – 15

logo A=-30, B=-60 e C=-90. Também existem proporções com números negativos! :-)


Divisão em duas partes inversamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes A e B inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a 1/p e 1/q, que são, respectivamente, os inversos de p e q.

Assim basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas tal que A+B=M. Desse modo:

A
1/p
= B
1/q
= A+B
1/p+1/q
= M
1/p+1/q
= M.p.q
p+q
= K

O valor de K proporciona a solução pois: A=K/p e B=K/q.

Exemplo: Para decompor o número 120 em duas partes A e B inversamente proporcionais a 2 e 3, deve-se montar o sistema tal que A+B=120, de modo que:

A
1/2
= B
1/3
= A+B
1/2+1/3
= 120
5/6
= 120.2.3
5
= 144

Assim A=72 e B=48.

Exemplo: Determinar números A e B inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 10. Para resolver este problema, tomamos A-B=10. Assim:

A
1/6
= B
1/8
= A-B
1/6-1/8
= 10
1/24
= 240

Assim A=40 e B=30.


Divisão em várias partes inversamente proporcionais

Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn inversamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, ..., 1/pn.

A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume que X1+X2+...+ Xn=M e além disso

X1
1/p1
= X2
1/p2
= ... = Xn
1/pn

cuja solução segue das propriedades das proporções:

X1
1/p1
= X2
1/p2
=...= Xn
1/pn
= X1+X2+...+Xn
1/p1+1/p2+...+1/pn
= M
1/p1+1/p2+...+1/pn

Exemplo: Para decompor o número 220 em três partes A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, de modo que A+B+C=220. Desse modo:

A
1/2
= B
1/4
= C
1/6
= A+B+C
1/2+1/4+1/6
= 220
11/12
= 240

A solução é A=120, B=60 e C=40.

Exemplo: Para obter números A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=10, devemos montar as proporções:

A
1/2
= B
1/4
= C
1/6
= 2A+3B-4C
2/2+3/4-4/6
= 10
13/12
= 120
13

logo A=60/13, B=30/13 e C=20/13.

Existem proporções com números fracionários! :-)


Divisão em duas partes direta e inversamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c e d e inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c/q e d/q, basta montar um sistema com duas equações e duas incógnitas de forma que A+B=M e além disso:

A
c/p
= B
d/q
= A+B
c/p+d/q
= M
c/p+d/q
= M.p.q
c.q+p.d
=K

O valor de K proporciona a solução pois: A=Kc/p e B=Kd/q.

Exemplo: Para decompor o número 58 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, e, inversamente proporcionais a 5 e 7, deve-se montar as proporções:

A
2/5
= B
3/7
= A+B
2/5+3/7
= 58
29/35
= 70

Assim A=(2/5).70=28 e B=(3/7).70=30.

Exemplo: Para obter números A e B diretamente proporcionais a 4 e 3 e inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 21. Para resolver este problema basta escrever que A-B=21 resolver as proporções:

A
4/6
= B
3/8
= A-B
4/6-3/8
= 21
7/24
= 72

Assim A=(4/6).72=48 e B=(3/8).72=27.


Divisão em n partes direta e inversamente proporcionais

Para decompor um número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn e inversamente proporcionais a q1, q2, ..., qn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1/q1, p2/q2, ..., pn/qn.

A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige que X1+X2+...+Xn=M e além disso

X1
p1/q1
= X2
p2/q2
=...= Xn
pn/qn

A solução segue das propriedades das proporções:

X1
p1/q1
= X2
p2/q2
=...= Xn
pn/qn
= X1+X2+...+Xn
p1/q1+p2/q2+...+pn/qn

Exemplo: Para decompor o número 115 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais a 4, 5 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas de forma de A+B+C=115 e tal que:

A
1/4
= B
2/5
= C
3/6
= A+B+C
1/4+2/5+3/6
= 115
23/20
= 100

logo A=(1/4)100=25, B=(2/5)100=40 e C=(3/6)100=50.

Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 1, 10 e 2 e inversamente proporcionais a 2, 4 e 5, de modo que 2A+3B-4C=10.

A montagem do problema fica na forma:

A
1/2
= B
10/4
= C
2/5
= 2A+3B-4C
2/2+30/4-8/5
= 10
69/10
= 100
69

A solução é A=50/69, B=250/69 e C=40/69.


Regra de Sociedade

Regra de sociedade é um procedimento matemático que indica a forma de distribuição de um resultado (lucro ou prejuizo) de uma sociedade, sendo que os membros poderão participar com capitais distintos e também em tempos distintos. Os capitais dos membros participantes são indicados por: C1, C2, ..., Cn e os respectivos tempos de participação deste capitais da sociedade por t1, t2, ..., tn.

Definiremos o peso pk (k=1,2,...,n) de cada participante como o produto:

pk = Ck tk

e indicaremos o capital total como a soma dos capitais participantes:

C = C1 + C2 + ... + Cn

A Regra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso de decomposição de um valor M diretamente proporcional aos pesos p1, p2, ..., pn.

Exemplo: Ocorreu a formação de uma sociedade por três pessoas A, B e C, sendo que A entrou com um capital de R$50.000,00 e nela permaneceu por 40 meses, B entrou com um capital de R$60.000,00 e nela permaneceu por 30 meses e C entrou com um capital de R$30.000,00 e nela permaneceu por 40 meses. Se o resultado (que pode ser um lucro ou um prejuizo) da empresa após um certo período posterior, foi de R$25.000,00, quanto deverá receber (ou pagar) cada sócio?

Os pesos de cada sócio serão indicados em milhares para não termos muitos zeros nas expressões dos pesos. Desse modo:

p1=50x40=2000;  p2=60x30=1800;  p 3=30x40=1200

A montagem do problema estabelece que A+B+C=25000 e além disso:

A
2000
= B
1800
= C
1200

A solução segue das propriedades das proporções:

A
2000
= B
1800
= C
1200
= A+B+C
5000
= 25000
5000
= 5

A participação de cada sócio é X=5(2000)=10000, Y=5(1800)=9000 e Z=5(1200)=6000.


Valid XHTML 1.0! Construída por Ulysses Sodré.