Ensino Fundamental: Critérios de Divisibilidade

Sobre a divisibilidade

Em algumas situações precisamos apenas saber se um número natural é divisível por outro número natural, sem a necessidade de obter o resultado da divisão. Neste caso utilizamos as regras conhecidas como critérios de divisibilidade. Apresentamos as regras de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 29, 31 e 49.


Divisibilidade no browser Netscape

Use o nosso Verificador de divisão exata para saber se um número inteiro M é divisível por um outro inteiro N. Entre com dois números inteiros, um em cada caixa do formulário e clique no botão apropriado. Já existem dois números para teste do programa.

No. maior=No. menor=

A outra forma usa o browser e você deve digitar a linha de comando abaixo, exatamente como está, dentro da caixa com o nome do arquivo que está sendo acessado no momento (location=endereço):

javascript: M % N

Para saber se 960 é divisível por 45, digitamos:

javascript: 960 % 45

A seguir pressione ENTER e você verá uma nova janela com um número! Se o número for zero a divisão será exata, mas se for diferente de zero a divisão não será exata. Para sair da janela com a resposta, pressione o botão Voltar (Back) de seu browser.


Alguns critérios de divisibilidade


Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.

Exemplos: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4, mas 135 não é divisível por 2, pois é um número terminado com o algarismo 5 que não é par.


Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Exemplos: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3, 576 é divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3, mas 134 não é divisível por 3, pois 1+3+4=8 que não é divisível por 3.


Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4.

Exemplos: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4, mas 1635 não é divisível por 4 pois 35 não é divisível por 4.


Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou 5.

Exemplos: 75 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5, mas 107 não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não é 0 (zero) nem 5.


Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é divisível por 3.

Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível por 6, pois não é par e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3.


Divisibilidade por 7

Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.

Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:

16592Número sem o último algarismo
-16Dobro de 8 (último algarismo)
16576Diferença

Repete-se o processo com este último número.

1657Número sem o último algarismo
-12Dobro de 6 (último algarismo)
1645Diferença

Repete-se o processo com este último número.

164Número sem o último algarismo
-10Dobro de 5 (último algarismo)
154Diferença

Repete-se o processo com este último número.

15Número sem o último algarismo
-8Dobro de 4 (último algarismo)
7Diferença

A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7.


Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois:

426Número sem o último algarismo
-2Dobro do último algarismo
424Diferença

Repete-se o processo com este último número.

42Número sem o último algarismo
-8Dobro do último algarismo
34Diferença

A última diferença é 34 que não é divisível por 7, logo o número 4261 dado inicialmente não é divisível por 7.


Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8.

Exemplos: 45128 é divisível por 8 pois 128 dividido por 8 fornece 16, mas 45321 não é divisível por 8 pois 321 não é divisível por 8.


Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 9.

Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9, mas 5381 não é divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que não é divisível por 9.


Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).

Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero), mas 6342 não termina em 0 (zero).


Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si é um número divisível por 11. Como um caso particular, se Sp-Si=0 ou se Si-Sp=0, então o número é divisível por 11.


Exemplo: 1353 é divisível por 11, pois:

Número1353
Ordemímparparímparpar

O primeiro e o terceiro algarismos têm ordem impar e a sua soma é: Si=1+5=6, o segundo e o quarto algarismos têm ordem par e a sua soma é: Sp=3+3=6, assim a soma dos algarismos de ordem par Sp é igual à soma dos algarismos de ordem ímpar Si, logo o número é divisível por 11.


Exemplo: 29458 é divisível por 11, pois:

Número29458
Ordemímparparímparparímpar

A soma dos algarismos de ordem ímpar, Si=2+4+8=14, a soma dos algarismos de ordem par, Sp=9+5=14 e como ambas as somas são iguais, o número 29458 é divisível por 11.


Exemplo: 2543 não é divisível por 11, pois:

Número2543
Ordemímpar par ímpar par

A soma dos algarismos de ordem impar é Si=2+4=6, a soma dos algarismos e ordem par é Sp=5+3=8 e como a diferença Si-Sp não é divisível por 11, o número original também não é divisível por 11.


Exemplo: 65208 é divisível por 11, pois:

Número65208
Ordemímpar par ímpar par ímpar

A soma dos algarismos de ordem impar é Si=6+2+8=16, a soma dos algarismos de ordem par é Sp=5+0=5. Como a diferença Si-Sp=11, o número 65208 é divisível por 11


Divisibilidade por 13

Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. Este critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utilizamos a soma ao invés de subtração.


Exemplo: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar.

1656Número sem o último algarismo
+8Quatro vezes o último algarismo
1664Soma

Repete-se o processo com este último número.

166Número sem o último algarismo
+16Quatro vezes o último algarismo
182Soma

Repete-se o processo com este último número.

18Número sem o último algarismo
+8Quatro vezes o último algarismo
26Soma

Como a última soma é divisível por 13, então o número dado inicialmente também é divisível por 13.


Divisibilidade por 16

Um número é divisível por 16 se o número formado pelos seus quatro últimos algarismos é divisível por 16.

Exemplos: 54096 é divisível por 16 pois 4096 dividido por 16 fornece 256, mas 45321 não é divisível por 16 pois 5321 não é divisível por 16.


Divisibilidade por 17

Um número é divisível por 17 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 17. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 17.


Exemplo: 18598 é divisível por 17 pois:

1859Número sem o último algarismo
-40Cinco vezes o último algarismo
1819Diferença

Repete-se o processo com este último número.

181Número sem o último algarismo
-45Cinco vezes o último algarismo
136Diferença

Repete-se o processo com este último número.

13Número sem o último algarismo
-30Cinco vezes o último algarismo
-17Diferença

A diferença, embora negativa, é divisível por 17, logo o número dado inicialmente também é divisível por 17.


Divisibilidade por 19

Um número é divisível por 19 quando o dobro do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 19. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 19.


Exemplo: 165928 é divisível por 19? Vamos verificar.

16592Número sem o último algarismo
+16Dobro do último algarismo
16608Soma

Repete-se o processo com este último número.

1660Número sem o último algarismo
+16Dobro do último algarismo
1676Soma

Repete-se o processo com este último número.

167Número sem o último algarismo
+12Dobro do último algarismo
179Soma

Repete-se o processo com este último número.

17Número sem o último algarismo
+18Dobro do último algarismo
35Soma

Como a última soma não é divisível por 19, então o número dado inicialmente também não é divisível por 19.


Exemplo: 4275 é divisível por 19, pois:

427Número sem o último algarismo
+10Dobro do último algarismo
437Soma

Repete-se o processo com este último número.

43Número sem o último algarismo
+14Dobro do último algarismo
57Soma

Repete-se o processo com este último número.

5Número sem o último algarismo
+14Dobro do último algarismo
19Soma

Como a última Soma é o próprio 19, segue que é divisível por 19, então o número 4275 dado inicialmente é divisível por 19.


Divisibilidade por 23

Um número é divisível por 23 quando o héptuplo (7 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 23. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 23.


Exemplo: 185909 é divisível por 23? Vamos verificar.

18590Número sem o último algarismo
+63Dobro do último algarismo
18653Soma

Repete-se o processo com este último número.

1865Número sem o último algarismo
+21Dobro do último algarismo
1886Soma

Repete-se o processo com este último número.

188Número sem o último algarismo
+42Dobro do último algarismo
230Soma

Como a última soma é divisível por 23, então o número dado inicialmente também é divisível por 23.


Divisibilidade por 29

Um número é divisível por 29 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 29. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 29.


Exemplo: O número 8598 é divisível por 29?

859Número sem o último algarismo
-24Dobro do último algarismo
835Diferença

Repete-se o processo com este último número.

83Número sem o último algarismo
-15Dobro do último algarismo
68Diferença

Repete-se o processo com este último número.

6Número sem o último algarismo
-24Dobro do último algarismo
-18Diferença

A diferença, embora negativa, não é divisível por 29, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 29.


Divisibilidade por 31

Um número é divisível por 31 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 31. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 31.


Exemplo: 8598 é divisível por 31?

859Número sem o último algarismo
+24Triplo do último algarismo
883Soma

Repete-se o processo com este último número.

88Número sem o último algarismo
+9Triplo do último algarismo
97Soma

Repete-se o processo com este último número.

9Número sem o último algarismo
+21Triplo do último algarismo
30Soma

A soma não é divisível por 31, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 31.


Divisibilidade por 49

Um número é divisível por 49 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 49. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 49.


Exemplo: 8598 é divisível por 49?

859Número sem o último algarismo
+40Cinco vezes o último algarismo
899Soma

Repete-se o processo com este último número.

89Número sem o último algarismo
+45Cinco vezes o último algarismo
134Soma

Repete-se o processo com este último número.

13Número sem o último algarismo
+20Cinco vezes o último algarismo
33Soma

A soma não é divisível por 49, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 49.


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