Ensino Fundamental: Números Inteiros

Curiosidades com números inteiros

12345679 x  9 = 111111111
12345679 x 18 = 222222222
12345679 x 27 = 333333333
12345679 x 36 = 444444444
12345679 x 45 = 555555555
12345679 x 54 = 666666666
12345679 x 63 = 777777777
12345679 x 72 = 888888888
12345679 x 81 = 999999999

9 x 9 + 7        = 88
9 x 98 + 6       = 888
9 x 987 + 5      = 8888
9 x 9876 + 4     = 88888
9 x 98765 + 3    = 888888
9 x 987654 + 2   = 8888888
9 x 9876543 + 1  = 88888888
9 x 98765432 + 0 = 888888888

9 x 1 + 2          = 11
9 x 12 + 3         = 111
9 x 123 + 4        = 1111
9 x 1234 + 5       = 11111
9 x 12345 + 6      = 111111
9 x 123456 + 7     = 1111111
9 x 1234567 + 8    = 11111111
9 x 12345678 + 9   = 111111111
9 x 123456789 + 10 = 1111111111

11 x 11               =        121
111 x 111             =       12321
1111 x 1111           =      1234321
11111 x 11111         =     123454321
111111 x 111111       =    12345654321
1111111 x 1111111     =   1234567654321
11111111 x 11111111   =  123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321

9        x 7        =        63
99       x 77       =       7623
999      x 777      =      776223
9999     x 7777     =     77762223
99999    x 77777    =    7777622223
999999   x 777777   =   777776222223
9999999  x 7777777  =  77777762222223
99999999 x 77777777 = 7777777622222223

1            x 7 + 3 = 10
14           x 7 + 2 = 100
142          x 7 + 6 = 1000
1428         x 7 + 4 = 10000
14285        x 7 + 5 = 100000
142857       x 7 + 1 = 1000000
1428571      x 7 + 3 = 10000000
14285714     x 7 + 2 = 100000000
142857142    x 7 + 6 = 1000000000
1428571428   x 7 + 4 = 10000000000
14285714285  x 7 + 5 = 100000000000
142857142857 x 7 + 1 = 1000000000000

9      x 9      =      81
99     x 99     =     9801
999    x 999    =    998001
9999   x 9999   =   99980001
99999  x 99999  =  9999800001
999999 x 999999 = 999998000001

12 x 12 =   144,  21 x 21 =   441
13 x 13 =   169,  31 x 31 =   961
102x102 = 10404,  201x201 = 40401
103x103 = 10609,  301x301 = 90601
112x112 = 12544,  211x211 = 44521
122x122 = 14884,  221x221 = 48841

99 = 9+8+7+65+4+3+2+1
100 = 1+2+3+4+5+6+7+8×9
134498697 = 1 + 2^3 + 4^5 + 6^7 + 8^9
1000 = 8 + 8 + 8 + 88 + 888

45 = 8+12+5+20,      8+2=12-2=5x2=20÷2=10
100 = 12+20+4+64,    12+4=20-4=4x4=64÷4=16
225 = 1+23+45+67+89, 89-67=67-45=45-23=23-1=22

5^2 + 2^1 = (5-2)^(2+1)

Notação: Para indicar que um número x está elevado a y, escreverei x^y, que é uma notação comum no meio científico.


Introdução aos números inteiros

Na época do Renascimento, os matemáticos sentiram cada vez mais a necessidade de um novo tipo de número, que pudesse ser a solução de equações tão simples como:

x + 2 = 0, 2x + 10 = 0, 4y + 4 = 0

As Ciências precisavam de símbolos para representar temperaturas acima e abaixo de 0º C, por exemplo. Astrônomos e físicos procuravam uma linguagem matemática para expressar a atração entre dois corpos.

Quando um corpo age com uma força sobre outro corpo, este reage com uma força de mesma intensidade e sentido contrário. Mas a tarefa não ficava somente em criar um novo número, era preciso encontrar um símbolo que permitisse operar com esse número criado, de modo prático e eficiente.


Sobre a origem dos sinais

A idéia sobre os sinais vem dos comerciantes da época. Os matemáticos encontraram a melhor notação para expressar esse novo tipo de número. Veja como faziam tais comerciantes:

Suponha que um deles tivesse em seu armazém duas sacas de feijão com 10 kg cada. Se esse comerciante vendesse num dia 8 Kg de feijão, ele escrevia o número 8 com um traço (semelhante ao atual sinal de menos) na frente para não se esquecer de que no saco faltava 8 Kg de feijão.

Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 2 Kg que restaram, escrevia o número 2 com dois traços cruzados (semelhante ao atual sinal de mais) na frente, para se lembrar de que no saco havia 2 Kg de feijão a mais que a quantidade inicial.

Com essa nova notação,os matemáticos poderiam, não somente indicar as quantidades, mas também representar o ganho ou a perda dessas quantidades, através de números, com sinal positivo ou negativo.


O conjunto Z dos Números Inteiros

Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por:

Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}

Exemplos de subconjuntos do conjunto Z

(a) Conjunto dos números inteiros excluído o número zero:

Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}

(b) Conjunto dos números inteiros não negativos:

Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}

(c) Conjunto dos números inteiros não positivos:

Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0}

Observação: Não existe padronização para estas notações.


Reta Numerada

Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar que se fosse adotada outra forma, não haveria qualquer problema.

Baseando-se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros possuem um e somente um antecessor e também um e somente um sucessor.


Ordem e simetria no conjunto Z

O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta (em Z).

Exemplos:

(a)  3 é sucessor de 2
(b)  2 é antecessor de 3
(c) -5 é antecessor de -4
(d) -4 é sucessor de -5
(e)  0 é antecessor de 1
(f)  1 é sucessor de 0
(g) -1 é sucessor de -2
(h) -2 é antecessor de -1

Todo número inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -z e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto z como -z estão à mesma distância da origem do conjunto Z que é 0.

Exemplos:

(a) O oposto de ganhar é perder, logo o oposto de +3 é -3.
(b) O oposto de perder é ganhar, logo o oposto de -5 é +5.

Módulo de um número Inteiro

O módulo ou valor absoluto de um número Inteiro é definido como sendo o maior valor (máximo) entre um número e seu elemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais | |. Assim:

|x| = max{-x,x}


Exemplos:

(a) |0| = 0
(b) |8| = 8
(c) |-6| = 6

Observação: Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número inteiro corresponde à distância deste número até a origem (zero) na reta numérica inteira.


Soma (adição) de números inteiros

Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.

ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7 (+3) + (+4) = (+7)
perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7)
ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3)
perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3)

Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.

Exemplos:

(a) -3 + 3 = 0
(b) +6 + 3 = 9
(c) +5 - 1 = 4

Propriedades da adição de números inteiros

Fecho: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

Associativa: Para todos a,b,c em Z:

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
2 + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:

a + b = b + a
3 + 7 = 7 + 3

Elemento neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o próprio z, isto é:

z + 0 = z
7 + 0 = 7

Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que

z + (-z) = 0
9 + (-9) = 0


Multiplicação (produto) de números inteiros

A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderiamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consectivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é:

1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30

Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos:

2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60

Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos:

(-2) + (-2) + ... + (-2) = 30 x (-2) = -60

Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.

Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.

Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:

(+1) × (+1) = (+1)
(+1) × (-1) = (-1)
(-1) × (+1) = (-1)
(-1) × (-1) = (+1)

Com o uso das regras acima, podemos concluir que:

Sinais dos númerosResultado do produto
iguaispositivo
diferentesnegativo

Propriedades da multiplicação de números inteiros

Fecho: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

Associativa: Para todos a,b,c em Z:

a x ( b x c ) = ( a x b ) x c
2 x ( 3 x 7 ) = ( 2 x 3 ) x 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:

a x b = b x a
3 x 7 = 7 x 3

Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:

z x 1 = z
7 x 1 = 7

Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z-1=1/z em Z, tal que

z x z-1 = z x (1/z) = 1
9 x 9-1 = 9 x (1/9) = 1


Propriedade mista (distributiva)

Distributiva: Para todos a,b,c em Z:

a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )
3 x ( 4 + 5 ) = ( 3 x 4 ) + ( 3 x 5 )


Potenciação de números inteiros

A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.

an = a × a × a × a × ... × a
a é multiplicado por a n vezes

Exemplos:

  1. 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

  2. (-2)³ = (-2) x (-2) x (-2) = -8

  3. (-5)² = (-5) x (-5) = 25

  4. (+5)² = (+5) x (+5) = 25

com os exemplos acima, podemos observar que a potência de todo número inteiro elevado a um expoente par é um número positivo e a potência de todo número inteiro elevado a um expoente ímpar é um número que conserva o seu sinal.


Observação: Quando o expoente é n=2, a potência a² pode ser lida como: "a elevado ao quadrado" e quando o expoente é n=3, a potência a³ pode ser lida como: "a elevado ao cubo". Tais leituras são provenientes do fato que área do quadrado pode ser obtida por A=a² onde a é é a medida do lado e o volume do cubo pode ser obtido por V=a³ onde a é a medida do lado do cubo.


Potenciação com o browser

Para obter a potência Mn em seu navegador, como 125, digite (ou copie) a linha de comando:

javascript:Math.pow(12,5)

exatamente da forma como está escrito, na caixa que aparece em seu browser com o nome do arquivo que está sendo acessado neste momento (location=endereço). Após isto, pressione a tecla ENTER. Você verá uma nova janela com a resposta

248832

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Radiciação de números inteiros

A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais não uso o símbolo de radical neste trabalho.


Observação: Por deficiência da linguagem HTML, que até hoje não implementou o sinal de raiz n-ésima, usarei Rn[a] para indicar a raiz n-ésima de a. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz de ordem 2 de um número inteiro a como R[a].

Assim, b é a raiz n-ésima de a se, e somente se, a=bn, isto é:

b=Rn[a] se, e somente se, a=bn

A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a.


Observação: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. A existência de um número cujo quadrado é igual a um número negativo só será estudada mais tarde no contexto dos números complexos.


Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:

R[9] = ±3

mas isto está errado. O certo é:

R[9] = +3

Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.

A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos.

Exemplos:

(a) R³[8]   =  2, pois 2³ = 8.
(b) R³[-8]  = -2, pois (-2)³ = -8.
(c) R³[27]  =  3, pois 3³ = 27.
(d) R³[-27] = -3, pois (-3)³ = -27.

Observação: Ao obedecer a regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que:

(a) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo.

(b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro.


Radiciação com o browser

Para obter a raiz n-ésima de um número não negativo M, que é igual a uma potência (power, em inglês, reduzida para pow) com expoente fracionário da forma 1/n, no navegador, digite exatamente

javascript:Math.pow(M,1/n)

como está escrito, na caixa de seu browser com o nome do arquivo que está sendo acessado neste momento (location=endereço).

Pressione ENTER. Você verá uma nova janela com a resposta! Para sair da janela com a resposta, pressione o botão Voltar (Back) de seu browser.


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