Ensino Fundamental: Geometria: Ângulos

Segmentos de reta e semi-retas

Lembramos que um segmento de reta orientado AB é um segmento de reta que tem início em A e final em B.

Uma semi-reta orientada AB é a parte de uma reta que tem início em A, passa por B e se prolonga indefinidamente.


O conceito de ângulo

Ângulo é a reunião de dois segmentos de reta orientados (ou duas semi-retas orientadas) a partir de um ponto comum.

A interseção entre os dois segmentos (ou semi-retas) é denominada vértice do ângulo e os lados do ângulo são os dois segmentos (ou semi-retas).

Observação: Mostraremos nas notas históricas que não existe uma definição bem estabelecida de ângulo.

Podem ser usadas três letras, por exemplo ABC para representar um ângulo, sendo que a letra do meio B representa o vértice, a primeira letra A representa um ponto do primeiro segmento de reta (ou semi-reta) e a terceira letra C representa um ponto do segundo segmento de reta (ou semi-reta).

Usamos a notação < para um ângulo, como por exemplo: <ABC.

O mesmo ângulo poderia ser representado pelas letras CBA, e neste caso, deve ficar claro que foi escolhido como primeiro segmento (ou semi-reta) aquele que contém o ponto C, enquanto que o segundo segmento (ou semi-reta) foi escolhido como aquele que contém o ponto A, sendo o vértice do ângulo o mesmo da situação anterior.

Um ângulo pode ser orientado da seguinte forma. Centramos um compasso no vértice O do ângulo e com uma certa abertura positiva (raio) traçamos um arco de circunferência a partir de um ponto A localizado em um dos segmentos (ou semi-retas) até que este arco toque o outro segmento de reta (ou semi-reta) em um ponto B.

O AÔB está orientado positivamente se o arco foi construído no sentido anti-horário enquanto o ângulo BOA está orientado negativamente, isto é, o arco foi construído no sentido horário, aquele sentido seguido pelos ponteiros de um relógio.

Quando não houver dúvida ou necessidade de orientação, podemos indicar o ângulo simplesmente pela letra que representa o vértice, como por exemplo: Ô. Uma outra notação para ângulo é AÔB, sendo O o vértice do mesmo e as letras A e B localizadas nos lados do ângulo.


Notas históricas sobre ângulos

O conceito de ângulo aparece primeiramente em materiais gregos no estudo de relações envolvendo elementos de um círculo junto com o estudo de arcos e cordas. As propriedades das cordas, como medidas de ângulos centrais ou inscritas em círculos, eram conhecidas desde o tempo de Hipócrates e talvez Eudoxo tenha usado razões e medidas de ângulos na determinação das dimensões do planeta Terra e no cálculo de distâncias relativas entre o Sol e a Terra. Eratóstenes de Cirene (276 a.C.-194 a.C) já tratava de problemas relacionados com métodos sistemáticos de uso de ângulos e cordas.

Desde os tempos mais antigos, os povos vêm olhando para o céu na tentativa de encontrar respostas para a vida tanto na Terra assim como entender os corpos celestes que aparecem à nossa vista. Assim, a Astronomia talvez tenha sido a primeira ciência a incorporar o estudo de ângulos como uma aplicação da Matemática.

Na determinação de um calendário ou de uma hora do dia, havia a necessidade de realizar contagens e medidas de distâncias. Frequentemente, o Sol servia como referência e a determinação da hora dependia da inclinação do Sol e da relativa sombra projetada sobre um certo indicador (relógio de Sol).

Para obter a distância que a Lua estava acima do horizonte, dever-se-ia calcular uma distância que nunca poderia ser medida por um ser humano comum. Para resolver este problema, esticava-se o braço e se calculava quantos dedos comportava o espaço entre a Lua e o horizonte ou então, segurava-se um fio entre as mãos afastadas do corpo e se media a distância.

Os braços deveriam permanecer bem esticados para que a resposta fosse a mais fiel possível. A medida era diferente de uma medida comum e este modo foi o primeiro passo para medir um ângulo, objeto este que se tornou importantísimo no contexto científico.

Na verdade, não se sabe quando o homem começou a medir ângulos, mas se sabe que estes eram medidos na Mesopotâmia e eram muito bem conhecidos quando Stonehenge foi construída, 2000 a.C.

Quanto ao conceito de ângulo, temos algumas definições:

Grécia antiga: "Um ângulo é uma deflexão ou quebra em uma linha reta".

Euclides: "Um ângulo plano é a inclinação recíproca de duas retas que num plano têm um extremo comum e não estão em prolongamento".

Em 1893, H.Schotten resumiu as definições de ângulo em três tipos:

  1. A diferença de direção entre duas retas;

  2. A medida de rotação necessária para trazer um lado de sua posição original para a posição do outro, permanecendo entrementes no outro lado do ângulo;

  3. A porção do plano contida entre as duas retas que definem o ângulo.

Em 1634, P.Henrigone definiu ângulo como um conjunto de pontos, definição esta que tem sido usada com mais frequência. Neste trabalho, aparece pela primeira vez o símbolo "<" para representar ângulo.


Ângulos consecutivos e adjacentes

Ângulos consecutivos: Dois ângulos são consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo.

AÔC e BÔC são consecutivos
OC é o lado comum
AÔB e BÔC são consecutivos
OB é o lado comum
AÔB e AÔC são consecutivos
OA é o lado comum

Ângulos adjacentes: Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, não têm pontos internos comuns. Na figura em anexo, AÔB e BÔC são ângulos adjacentes.


Ângulos opostos pelo vértice

Consideremos duas retas concorrentes cuja interseção seja o ponto O. Estas retas determinam quatro ângulos. Os ângulos que não são adjacentes são opostos pelo vértice.

Na figura acima, AÔB e CÔD são ângulos opostos pelo vértice e também AÔD e BÔC são ângulos opostos pelo vértice.


Ângulos congruentes

A congruência entre ângulos é uma noção primitiva. Dizemos que dois ângulos são congruentes se, superpostos um sobre o outro, todos os seus elementos coincidem.

Ângulos congruentes

Na figura em anexo, temos que ABC e DEF são ângulos congruentes. Usamos a notação para denotar ângulos congruentes. Dois ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes.


Medida de um ângulo

A medida de um ângulo indicada por m(AÔB) é um número real positivo associado ao ângulo de tal forma que satisfaz as segintes condições:

  1. Ângulos congruentes possuem medidas iguais e reciprocamente ângulos que possuem medidas iguais são congruentes.

    AÔBDÊF equivale a  m(AÔB)=m(DÊF)

  2. Quando afirmamos que um ângulo é maior do que outro, sua medida é maior do que a medida deste outro. Assim: AÔB>DÊF, equivale a

    m(AÔB) > m(DÊF)

  3. A partir de dois ângulos dados, podemos obter um terceiro ângulo, cuja medida corresponde à soma das medidas dos ângulos dados.

    Se m(AÔB) é a medida de AÔB e m(BÔC) é a medida de BÔC, então AÔCAÔB+BÔC. Além disso:

    m(AÔC) = m(AÔB) + m(BÔC)


Unidades de medida de ângulos

A unidade de medida de ângulo no Sistema Internacional é o radiano e o processo para obter um radiano é o seguinte:

Tomamos um segmento de reta OA. Com um compasso centrado no ponto O e abertura OA, traçamos um arco de circunferência AB, sendo que B deve pertencer ao outro lado do ângulo AOB. Se o comprimento do arco for igual ao comprimento do segmento OA, diremos que este ângulo tem medida igual a 1 radiano (1 rad).

Uma forma prática de visualizar isto, é tomar uma reta horizontal passando pelo centro de uma circunferência (não importa a medida do raio). Indicamos o ponto A como uma das interseções da circunferência com a reta horizontal. Tomamos um barbante com a mesma medida que o raio OA da circunferência. Fixamos uma das extremidades do barbante sobre o ponto A e esticamos o barbante sobre a circunferência. O ponto B coincidirá com a outra extremidade do barbante. Traçamos então o segmento de reta OB, que representa o outro lado do ângulo AOB. A medida do ângulo AOB é 1 radiano.

Uma outra unidade é muito utilizada nos primeiros níveis educacionais é o grau. Ela é obtida pela divisão da circunferência em 360 partes iguais, obtendo-se assim um ângulo de um grau, sendo que a notação desta medida usa um pequeno o colocado como expoente do número, como 1º.

Exemplo: Em geral, associa-se um número a um ângulo estabelecendo a razão entre este ângulo e outro ângulo tomado como unidade.

Por exemplo, se um ângulo Û com 1 radiano de medida for considerado um ângulo unitário, então o ângulo Â=6 tem a medida 6 vezes maior, isto é, Â tem 6 unidades de medida.

Pergunta: Você conhece a razão pela qual o círculo é dividido em 360 partes? Leia as notas históricas que seguem.


Notas históricas sobre o grau e o radiano

Acerca de elementos geométricos relacionados com a Astronomia pouco se conhece. Sabe-se que Aristarco propôs um sistema que tinha o Sol como centro pelo menos 1500 antes de Copérnico, no entanto este material histórico se perdeu na noite do tempo. O que ficou, do ponto de vista histórico foi um tratado escrito por volta de 260 a.C. envolvendo tamanhos e distância do Sol e da Lua.

A divisão do círculo em 360 partes iguais aparece mais tarde e não existe qualquer razão científica. Talvez exista uma razão histórica que justifique a existência de tal número no contexto de estudos do povo babilônio, que viveu entre 4000 a.C. e 3000 a.C. Este povo realizava muitos estudos no trato de terrenos pantanosos e construções de cidades e tinha interesse pela Astronomia assim como pela sua relação com conceitos religiosos (eram politeistas) e para viabilizar tais procedimentos, criaram um sistema de numeração com base 60 (sistema hexagesimal).

Não se sabe ao certo quais as razões pelas quais, foi escolhido o número 360 para se dividir a circunferência, sabe-se apenas que o número 60 é um dos menores números menores do que 100 que possui uma grande quantidade de divisores distintos, a saber: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60, razão forte pela qual este número tenha sido adotado.

O primeiro astrônomo grego a dividir o círculo em 360 partes foi Hipsicles (180 a. C.), seguido pelos caldeus. Por volta de 150 a. C. encontramos uma generalização de Hiparco para este procedimento.

Dividir um círculo em 6 partes iguais era algo muito simples para os especialistas daquela época e é possível que se tenha usado o número 60 para representar 1/6 do total que passou a ser 360.

Outro fato que pode ter influenciado na escolha do número 360 é que o movimento de translação da Terra em volta do Sol se realizava em um período de aproximadamente 360 dias, o que era uma estimativa razoável para a época. Hiparco mediu a duração do ano com grande exatidão ao obter 365,2467 dias, sendo que atualmente esta medida corresponde a 365,2222 dias.

Nosso entendimento é que o sistema sexagesimal (base 60) tenha influenciado a escolha da divisão do círculo em 360 partes iguais, assim como a divisão de cada uma dessas partes em 60 partes menores e também na divisão de cada uma dessas subpartes em 60 partes menores. Uma garantia para isto é que os babilônios usavam frações com potências de 60 no denominador. As frações sexagesimais babilônicas, usadas em traduções árabes de Ptolomeu, eram traduzidas como:

"primeiras menores partes" = sexagésimos
"segundas menores partes"  = sexagésimos de sexagésimos

Quando tais palavras foram traduzidas para o Latim, que foi a língua internacional dos intelectuais por muito tempo, passamos a ter:

"primeiras menores partes" = partes minutae primae
"segundas menores partes"  = partes minutae secundae

de onde apareceram as palavras minuto e segundo.
De um modo popular, usamos a unidade de medida de ângulo com graus, minutos e segundos. Na verdade a unidade de medida de ângulo do Sistema Internacional é o radiano, que foi uma unidade alternativa criada pelo matemático Thomas Muir e o físico James T. Thomson, de uma forma independente. Na verdade o termo radian apareceu pela primeira vez num trabalho de Thomson em 1873.
Em 1884, muitos cientistas ainda não usavam este termo. Outros termos para o radiano eram: Pi-medida, circular ou medida arcual, o que mostra a forma lenta como uma unidade é implementada ao longo do tempo.


Alguns ângulos especiais

Com relação às suas medidas, os ângulos podem ser classificados como: reto, agudo, obtuso e raso.

ÂnguloCaracterísticasGráfico
agudoÂngulo cuja medida é maior do que 0 graus e menor do que 90 graus. Ao lado temos um ângulo de 45 graus.
retoUm ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90º. Assim os seus lados estão localizados em retas perpendiculares.
obtusoÉ um ângulo cuja medida está entre 90 graus e 180 graus. Na figura ao lado temos o exemplo de um ângulo obtuso de 135 graus.
rasoÂngulo que mede exatamente 180º, os seus lados são semi-retas opostas. Neste caso os seus lados estão localizados sobre uma mesma reta.

O ângulo reto (90º) é provavelmente o ângulo mais importante, pois o mesmo é encontrado em inúmeras aplicações práticas, como no encontro de uma parede com o chão, os pés de uma mesa em relação ao seu tampo, caixas de papelão, esquadrias de janelas, etc...

Um ângulo de 360 graus é o ângulo que completa o círculo. Após esta volta completa este ângulo coincide com o ângulo de zero graus mas possui a grandeza de 360 graus (360 º).


Observação: É possível obter ângulos maiores do que 360º mas os lados destes ângulos coincidirão com os lados dos ângulos menores do que 360º na medida que ultrapassa 360º. Para obter tais ângulos basta subtrair 360º do ângulo até que este seja menor do que 360º.

Por exemplo um ângulo de 400º é equivalente a um ângulo de 40º pois: 400º-360º=40º.


O transferidor

Para obter a medida aproximada de um ângulo traçado em um papel, utilizamos um instrumento denominado transferidor, que contém um segmento de reta em sua base e um semicírculo na parte superior marcado com unidades de 0 a 180. Alguns transferidores possuem a escala de 0 a 180 marcada em ambos os sentidos do arco para a medida do ângulo sem muito esforço.

Para medir um ângulo, coloque o centro do transferidor (ponto 0) no vértice do ângulo, alinhe o segmento de reta OA (ou OE) com um dos lados do ângulo e o outro lado do ângulo determinará a medida do ângulo, como mostra a figura.

transferidor

O ângulo AÔC mede 70 graus. Na figura acima, podemos ler diretamente as medidas dos seguintes ângulos:

m(AÔB)=27ºm(AÔC)=70ºm(AÔD)=120ºm(AÔE)=180º
m(EÔB)=153ºm(EÔC)=110ºm(EÔD)=60ºm(EÔA)=180º

Observação: Os ângulos AÔB e EÔB são suplementares. O mesmo acontece com os pares de ângulos: AÔC e EÔC, AÔD e EÔD.

Exemplos:

  1. O ângulo BÔC pode ser medido mudando a posição do transferidor ou subtraindo dois ângulos conhecidos.

    m(BÔC) = m(AÔC) - m(AÔB) = 70º - 26º = 44º

  2. O ângulo DÔB pode ser medido mudando a posição do transferidor ou subtraindo dois ângulos conhecidos.

    m(DÔB) = m(EÔB) - m(EÔD) = 154º - 60º = 94º


Subdivisões do grau

Em problemas reais, os ângulos nem sempre possuem medidas associadas a números inteiros, assim precisamos usar outras unidades menores como minutos e segundos. A notação para 1 minuto é 1' e a notação para 1 segundo é 1".

Unidade de ânguloNúmero de subdivisõesNotação
1 ângulo reto90 graus90º
1 grau60 minutos60'
1 minuto60 segundos60"

Assim

1 grau    = 1 ângulo reto dividido por 90.
1 minuto  = 1 grau dividido por 60.
1 segundo = 1 minuto dividido por 60.

Exemplo: Expressar a medida do ângulo 35º 48' 36" como fração decimal do grau.

35º48'36" = 35º + 48' + 36" =
          = 35º + (48/60)º + (36/3600)º
          = 35º + 0,80º + 0,01º
          = 35,81º

Alguns exercícios resolvidos

  1. Nos relógios desenhados, qual é a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de cada relógio?

       

    Solução: No relógio lilás, o menor dos ângulos formados pelos ponteiros é de aproximadamente 120º enquanto que no relógio verde o menor dos ângulos formados pelos ponteiros é de aproximadamente 150º.

  2. Para expressar 2/3 de 1 grau (1º) em minutos, basta tomar:

    (2/3)º = 2/3 x 60' = 40'.

  3. Para escrever 48' como uma parte fracionária do grau, basta tomar:

    48'=(48/60)º=(4/5)º=(4/5) de 1º.

  4. Para expressar 3/4 de 1' em segundos, tomamos

    (3/4)'=(3/4)x60" = 45"

  5. De acordo com a figura, complete as medidas dos ângulos que estão faltando em cada linha da tabela abaixo:

    m(AÔC)m(AÔB)m(BÔC)
    62º20'32º40' 18 graus e 40 minutos
    61º42'42 graus e 38 minutos19º3' 20"
    65 graus, 32 minutos e 12 segundos43º42' 20"21º49' 52"
    64º18'45º25' 34"18 graus, 52 minutos e 26 segundos

    Posicione o mouse sobre a palavra "Resposta" e após alguns segundos você verá se acertou a questão.

  6. Na figura abaixo as retas AC e BD se interseptam no ponto O. Pergunta-se:

    1. Quais são ângulos agudos?

    2. Quais são ângulos obtusos?

    3. Quais são os nomes de quatro pares de ângulos suplementares?

    4. Quais ângulos são opostos pelo vértice?

    5. Identifique dois ângulos que são adjacentes ao ângulo DÔA.

    Solução:

    1. Ângulos agudos são BÔA e CÔD.

    2. Ângulos obtusos são BÔC e DÔA.

    3. Quatro pares de ângulos suplementares são DÔC e CÔB, CÔB e BÔA, BÔA e DÔA, BÔA e CÔD.

    4. Ângulos opostos pelo vértice: DÔC e AÔB, AÔD e BÔC.

    5. Dois ângulos adjacentes ao ângulo DÔA são: BÔA e DÔC.

  7. Mostre que ângulos são opostos pelo vértice são congruentes.

    Solução: Se m(AÔB)=x, m(CÔD)=y e m(CÔB)=z, como os pares de ângulos AÔB, BÔC e BÔC, CÔD são suplementares, temos que x+z=180º e y+z=180º, portanto x=y, o que implica que os ângulos AÔB e CÔD são congruentes.

  8. A soma de dois ângulos adjacentes é 120 graus. Calcule a medida de cada ângulo, sabendo que a medida de um deles é o triplo da medida do outro menos 40 graus.

    Solução: Sejam x e y as medidas dos ângulos. Assim, temos duas equações: x+y=120º e x=3y-40º. Resolvendo este sistema, obtemos x=40º e y= 80º.

  9. Dois ângulos são suplementares, a medida de um deles é 24 graus menor do que o dobro da medida do outro.Calcule a medida de cada ângulo.

    Solução: Sejam x e y as medidas dos ângulos. Desse modo: x+y=180º e x=2y-24º. Assim: x=112º e y=68º.

  10. Um entre dois ângulos complementares tem medida 18º menor do que o dobro da medida do outro. Calcule as medidas de cada ângulo.

    Solução: Medidas dos ângulos: 36º e 54º.

  11. Dois ângulos complementares têm medidas respectivamente iguais a 3x-10 e 2x+10. Determinar a medida de cada ângulo.

    Solução: Os ângulos medem 44º e 46º.

  12. Em quantos graus, a medida do suplementar de um ângulo agudo excede a medida do complementar deste ângulo?

    Solução: Se x é a medida do ângulo, então a medida do suplementar de x é igual a (180-x)º e a medida do complementar de x é igual a (90-x)º, portanto, a medida do suplementar de x que excede a medida do complementar de x é igual 90º.

  13. Se (3x-15) graus é a medida de um ângulo agudo, que restrições devemos ter para o número x?

    Solução: O ângulo agudo mede 3x-15. Temos que um ângulo agudo deve medir mais do que zero graus e menos do que 90 graus, assim, 0<(3x-15)<90, logo 5<x<35.

  14. A soma das medidas de dois ângulos complementares é 86º maior do que a diferença de suas medidas. Calcule a medida de cada ângulo.

    Solução: As medidas dos ângulos: 43º e 47º.


Interior e exterior de um ângulo

Interior de um ângulo: O interior do ângulo AÔB é a interseção de dois semi-planos. O semi-plano 1 com origem na reta OA e que contém o ponto B e o semi-plano 2 com origem em OB e que contém o ponto A.

Dessa forma, podemos obter o interior do ângulo AÔB, como a interseção desse semi-planos, isto é:

Interior de AÔB = 1 2

Se um ângulo for menor do que um ângulo raso, o interior deste ângulo é uma região convexa, o que significa que quaisquer dois pontos contidos no interior do ângulo são extremidades de um segmento de reta inteiramente contido nesta região.

Os pontos do interior de um ângulo são pontos internos ao ângulo e a reunião de um ângulo com seu interior é um setor angular, também conhecido como ângulo convexo. Alguns autores definem desta forma um ângulo.

Exterior de um ângulo: O exterior do ângulo AÔB é o conjunto de todos os pontos que não pertencem nem ao ângulo AÔB nem ao interior de AÔB.

O exterior de AÔB é a reunião de dois semi-planos, o semi-plano 1 com origem na reta OA e que não contém o ponto B e o semi-plano 2 com origem em OB e que não contém o ponto A. Assim, basta tomar a reunião desses dois semi-planos:

Exterior de AÔB = 1U2

Se um ângulo for menor do que um ângulo raso, o exterior deste ângulo é uma região côncava, isto quer dizer que não é uma região convexa. Os pontos do exterior de um ângulo são pontos externos ao ângulo e a reunião do ângulo com seu exterior, também é conhecida como ângulo côncavo.


Ângulos complementares, suplementares e replementares

Dois ângulos são denominados:

Complementares: se a soma de suas medidas é igual a 90º e neste caso, um ângulo é o complemento do outro.

Suplementares: se a soma de suas medidas é igual a 180º e neste caso, um ângulo é o suplemento do outro.

Replementares: se a soma de suas medidas é igual a 360º e neste caso, um ângulo é o replemento do outro.

Complemento de xSuplemento de xReplemento de x
90º - x180º - x360º - x

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