Ensino Fundamental: Equações do segundo grau

Introdução às equações algébricas

Equações algébricas são equações nas quais a incógnita x está sujeita a operações algébricas como: adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação.

Exemplos:

  1. a x + b = 0

  2. a x² + bx + c = 0

  3. a x4 + b x² + c = 0

Uma equação algébrica está em sua forma canônica, quando ela pode ser escrita como:

ao xn + a1 xn-1 + ... + an-1 x1 + an = 0

onde n é um número inteiro positivo (número natural). O maior expoente da incógnita em uma equação algébrica é denominado o grau da equação e o coeficiente do termo de mais alto grau é denominado coeficiente do termo dominante.

Exemplo: A equação 4x²+3x+2=0 tem o grau 2 e o coeficiente do termo dominante é 4. Neste caso, dizemos que esta é uma equação do segundo grau.


A fórmula quadrática de Sridhara (Bhaskara)

Mostraremos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.

O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.

Seja a equação:

a x² + b x + c = 0

com a não nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos:

x² + (b/a) x + c/a = 0

Passando o termo constante para o segundo membro, teremos:

x² + (b/a) x = -c/a

Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto somaremos o quadrado de b/2a a ambos os membros da equação para obter:

x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²

Simplificando ambos os lados da equação, obteremos:

[x+(b/2a)]2 = (b² - 4ac) / 4a²

Notação: Usaremos a notação R[x] para representar a raiz quadrada de x>0. R[5] representará a raiz quadrada de 5. Esta notação está sendo introduzida aqui para fazer com que a página seja carregada mais rapidamente, pois a linguagem HTML ainda não permite apresentar notações matemáticas na Internet de uma forma fácil.

Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número real não negativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a nossa equação:

x + (b/2a) = + R[(b²-4ac) / 4a²]

ou

x + (b/2a) = - R[(b²-4ac) / 4a²]

que alguns, por preguiça ou descuido, escrevem:

contendo um sinal ± que é lido como mais ou menos. Lembramos que este sinal ± não tem qualquer significado em Matemática.

Como estamos procurando duas raízes para a equação do segundo grau, deveremos sempre escrever:

x' = -b/2a + R[b²-4ac] /2a

ou

x" = -b/2a - R[b²-4ac] /2a

A fórmula de Bhaskara ainda pode ser escrita como:

onde D (às vezes usamos a letra maiúscula "delta" do alfabeto grego) é o discriminante da equação do segundo grau, definido por:

D = b² - 4ac


Equação do segundo grau

Uma equação do segundo grau na incógnita x é da forma:

a x² + b x + c = 0

onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado.


Equação Completa do segundo grau

Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

  1. 2 x² + 7x + 5 = 0

  2. 3 x² + x + 2 = 0


Equação incompleta do segundo grau

Uma equação do segundo grau é incompleta se b=0 ou c=0 ou b=c=0. Na equação incompleta o coeficiente a é diferente de zero.

Exemplos:

  1. 4 x² + 6x = 0

  2. 3 x² + 9 = 0

  3. 2 x² = 0


Resolução de equações incompletas do 2o. grau

Equações do tipo ax²=0: Basta dividir toda a equação por a para obter:

x² = 0

significando que a equação possui duas raízes iguais a zero.

Equações do tipo ax²+c=0: Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante para o segundo membro para obter:

x² = -c/a

Se -c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.

Se -c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais contrários.

Equações do tipo ax²+bx=0: Neste caso, fatoramos a equação para obter:

x (ax + b) = 0

e a equação terá duas raízes:

x' = 0   ou    x" = -b/a


Exemplos gerais

  1. 4x²=0 tem duas raízes nulas.

  2. 4x²-8=0 tem duas raízes: x'=R[2], x"= -R[2]

  3. 4x²+5=0 não tem raízes reais.

  4. 4x²-12x=0 tem duas raízes reais: x'=3, x"=0

Exercícios: Resolver as equações incompletas do segundo grau.

  1. x² + 6x = 0

  2. 2 x² = 0

  3. 3 x² + 7 = 0

  4. 2 x² + 5 = 0

  5. 10 x² = 0

  6. 9 x² - 18 = 0


Resolução de equações completas do 2o. grau

Como vimos, uma equação do tipo: ax²+bx+c=0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:

onde D=b²-4ac é o discriminante da equação.

Para esse discriminante D há três possíveis situações:

  1. Se D<0, não há solução real, pois não existe raiz quadrada real de número negativo.

  2. Se D=0, há duas soluções iguais:

    x' = x" = -b / 2a

  3. Se D>0, há duas soluções reais e diferentes:

    x' = (-b + R[D])/2a
    x" = (-b - R[D])/2a

Exemplos: Preencher a tabela com os coeficientes e o discriminante de cada equação do segundo grau, analisando os tipos de raízes da equação.

EquaçãoabcDeltaTipos de raízes
x²-6x+8=01-684reais e diferentes
x²-10x+25=0     
x²+2x+7=0     
x²+2x+1=0     
x²+2x=0     

O uso da fórmula de Bhaskara

Você pode realizar o Cálculo das Raízes da Equação do segundo grau com a entrada dos coeficientes a, b e c em um formulário, mesmo no caso em que D é negativo, o que força a existência de raízes complexas conjugadas. Para estudar estas raízes, visite o nosso link Números Complexos.

Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:

x² - 5 x + 6 = 0

  1. Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6

  2. Escrever o discriminante D = b²-4ac.

  3. Calcular D=(-5)²-4×1×6=25-24=1

  4. Escrever a fórmula de Bhaskara:

  5. Substituir os valores dos coeficientes a, b e c na fórmula:

    x' = (1/2)(5+R[1]) = (5+1)/2 = 3
    x" = (1/2)(5-R[1]) = (5-1)/2 = 2


Exercícios

  1. Calcular o discriminante de cada equação e analisar as raízes em cada caso:

    1. x² + 9 x + 8 = 0

    2. 9 x² - 24 x + 16 = 0

    3. x² - 2 x + 4 = 0

    4. 3 x² - 15 x + 12 = 0

    5. 10 x² + 72 x - 64 = 0

  2. Resolver as equações:

    1. x² + 6 x + 9 = 0

    2. 3 x² - x + 3 = 0

    3. 2 x² - 2 x - 12 = 0

    4. 3 x² - 10 x + 3 = 0


Equações fracionárias do segundo grau

São equações do segundo grau com a incógnita aparecendo no denominador.

Exemplos:

  1. 3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 0

  2. 3/(x²-4)+1/(x-2)=0

Para resolver este tipo de equação, primeiramente devemos eliminar os valores de x que anulam os denominadores, uma vez que tais valores não servirão para as raízes da equação, pois não existe fração com denominador igual a 0. Na sequência extraímos o mínimo múltiplo comum de todos os termos dos denominadores das frações, se houver necessidade.

  1. Consideremos o primeiro exemplo:

    3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 0

    x deve ser diferente de 3, diferente de 2 e diferente de -2, assim podemos obter o mínimo múltiplo comum entre os termos como:

    MMC(x) = (x² - 4)(x - 3)

    Reduzindo as frações ao mesmo denominador que deverá ser MMC(x), teremos:

    [3(x-3) + 1(x²-4)] / (x²-4)(x-3) = 0

    o que significa que o numerador deverá ser:

    3(x - 3) + 1(x² - 4) = 0

    que desenvolvido nos dá:

    x2 + 3x - 13 = 0

    que é uma equação do segundo grau que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara. Não existirão números reais satisfazendo esta equação.

  2. Consideremos agora o segundo exemplo:

    (x+3)/(2x-1)=2x/(x+4)

    O mínimo múltiplo comum entre 2x-1 e x+4 é MMC=(2x-1)(x-4) (o produto entre estes fatores) e MMC somente se anulará se x=1/2 ou x= -4. Multiplicando os termos da equação pelo MMC, teremos uma sequência de expressões como:

    (x+3)(x+4)=2x(2x-1)
    x² + 7x + 12 = 4x² - 2x
    -3x² + 9x + 12 = 0
    3x² - 9x - 12 = 0
    x² - 3x - 4 = 0
    (x-4)(x+1) = 0
    

    Solução: x'=4 ou x"= -1

  3. Estudemos outro exemplo:

    3/(x²-4)+1/(x-2)=0

    O mínimo múltiplo comum é MMC=x²-4=(x-2)(x+2) e este MMC somente se anulará se x=2 ou x= -2. Multiplicando os termos da equação pelo MMC, obteremos:

    3 + (x+2)=0

    cuja solução é x= -5

Exercícios: Resolver as equações do segundo grau fracionárias:

  1. x + 6/x = -7

  2. (x+2)/(x+1) = 2x/(x-4)

  3. (2-x)/x + 1/x² = 3/x

  4. (x+2)/(x-2) + (x-2)/(x+2) = 1


Equações bi-quadradas

São equações do 4o. grau na incógnita x, da forma geral:

a x4 + b x² + c = 0

Na verdade, esta é uma equação que pode ser escrita como uma equação do segundo grau através da substituição:

y = x²

para gerar

a y² + b y + c = 0

Aplicamos a fórmula quadrática para resolver esta última equação e obter as soluções y' e y" e o procedimento final deve ser mais cuidadoso, uma vez que

x² = y'   ou   x² = y"

e se y' ou y" for negativo, as soluções não existirão para x.

Exemplos:

  1. Para resolver x4-13x²+36=0, tomamos y=x², para obter y²-13y+36=0, cujas raízes são y'=4 ou y"=9, assim:

    x² = 4   ou   x² = 9

    o que garante que o conjunto solução é:

    S = { 2, -2, 3, -3}

  2. Para resolver x4-5x²-36=0, tomamos y=x², para obter y²-5y-36=0, cujas raízes são y'= -4 ou y"=9 e desse modo:

    x² = -4   ou   x² = 9

    o que garante que o conjunto solução é:

    S = {3, -3}

  3. Se tomarmos y=x² na equação x4+13x²+36=0, obteremos y²+13y+36=0, cujas raízes são y'= -4 ou y"= -9 e dessa forma:

    x² = -4   ou   x² = -9

    o que garante que o conjunto solução é vazio.


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