Matemática Financeira: Fluxo de Caixa

Fluxo de Caixa

Fluxo de caixa é um objeto matemático que pode ser representado graficamente com o objetivo de facilitar o estudo e os efeitos da análise de uma certa aplicação, que pode ser um investimento, empréstimo, financiamento, etc. Normalmente, um fluxo de caixa contém Entradas e Saídas de capital, marcadas na linha de tempo com início no instante t=0.

Um típico exemplo é o gráfico:

Fluxo de Caixa da pessoa
Eo      
      
0123...n-1n
 
 S1S2S3...Sn-1Sn

que representa um empréstimo bancário realizado por uma pessoa de forma que ela restituirá este empréstimo em n parcelas iguais nos meses seguintes. Observamos que Eo é o valor que entrou no caixa da pessoa (o caixa ficou positivo) e S1, S2, ..., Sn serão os valores das parcelas que sairão do caixa da pessoa (negativas).

No Fluxo de Caixa do banco, as setas têm os sentidos mudados em relação ao sentidos das setas do Fluxo de Caixa da Pessoa. Assim:

Fluxo de Caixa do banco
 E1E2E3...En-1En
 
0123...n-1n
      
So      

O fato de cada seta indicar para cima (positivo) ou para baixo (negativo), é assumido por convenção, e o Fluxo de Caixa dependerá de quem recebe ou paga o Capital num certo instante, sendo que:

  1. t=0 indica o dia atual;

  2. Ek é a Entrada de capital num momento k;

  3. Sk é a Saída de capital num momento k.

Observação: Neste trabalho, o ponto principal é a construção de Fluxos de Caixa na forma gráfica e pouca atenção é dada à resolução dos problemas. Caso você tenha algum Fluxo de Caixa interessante que valha a pena ser tratado, envie a sua sugestão.


Exemplos importantes

Na sequência, iremos apresentar uma coleção de situações e construiremos os Fluxos de Caixa das mesmas (do ponto de vista da pessoa). Tais situações são muito comuns nas operações financeiras.

Resolveremos apenas alguns exercícios, mas os interessados deverão ver o nosso curso sobre Matemática Financeira, nesta mesma Home Page, onde encontrarão muitas informações sobre o assunto.

  1. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagará R$11.000,00 daqui há um mês.

    Fluxo de Caixa 01
    10.000 
     
    01
     
     11.000
  2. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagará em duas parcelas iguais e seguidas de R$6.000,00 a partir do próximo mês.

    Fluxo de Caixa 02
    10.000  
      
    012
     
     6.0006.000
  3. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagará R$ 5.500,00 em 30 dias e R$6.500,00 em 60 dias.

    Fluxo de Caixa 03
    10.000  
      
    012
     
     5.5006.500
  4. Uma pessoa emprestou R$10.000,00 hoje e pagará R$ 1.000,00 em 15 parcelas iguais a partir do mês seguinte.

    Fluxo de Caixa 04
    10.000     
         
    012...1415
     
     1.0001.0001.0001.0001.000
  5. Uma pessoa comprou um carro por R$16.000,00 hoje e pagará em 24 parcelas de R$ 876,54 a partir do mês seguinte.

    Fluxo de Caixa 05
    16.000     
         
    012...2324
     
     876,54876,54876,54 876,54876,54
  6. Uma pessoa comprou um carro por R$16.000,00 hoje e pagará o mesmo em 24 parcelas de R$ 840,00 a partir de hoje.

    Fluxo de Caixa 06
    16.000    
        
    012...23
    840,00840,00840,00840,00 840,00
  7. Uma pessoa comprou um carro por R$12.000,00 hoje e pagará em 20 parcelas variáveis que começam com R$ 500,00 e vão aumentando R$100,00 a cada mês, sendo a primeira parcela paga a partir do mês seguinte.

    Fluxo de Caixa 07
    12.000      
         
    012...1920
     
     500600... 2.3002.400
  8. Uma pessoa comprou um carro por R$12.000,00 hoje e pagará em 20 parcelas variáveis que começam com R$ 500,00 e vão aumentando R$100,00 a cada mês, sendo a primeira parcela paga já no momento inicial.

    Fluxo de Caixa 08
    12.000     
         
    012...1819
    500600700... 2.3002.400
  9. Uma pessoa financia um objeto em n parcelas iguais e seguidas de R unidades monetárias a partir do próximo mês. Se a taxa bancária de juros é de i% ao mês, qual é o Valor Presente (VP) deste objeto?

    Fluxo de Caixa 09
    VP=A     
         
    012...n-1n
     
     RRRRR

    Solução matemática:

    A = R/(1+i) + R/(1+i)2 + R/(1+i)3 +...+ R/(1+i)n

    que também pode ser escrito na forma

  10. Uma pessoa financia um objeto em 5 parcelas iguais e seguidas de R$1.000,00 a partir do próximo mês. Se a taxa bancária de juros é de 7% ao mês, qual é o Valor Presente (VP) deste objeto?

    Fluxo de Caixa 10
    VP     
         
    012345
     
     1.0001.0001.0001.0001.000

    Solução matemática: Como i=7%=0,07; R=1000 e n=5, então pela Fórmula do ítem anterior, temos que:

  11. Uma pessoa financia um objeto em n parcelas iguais e seguidas de R unidades monetárias a partir deste mês. Se a taxa bancária de juros é de i% ao mês, qual é o Valor Presente (VP) deste objeto?

    Fluxo de Caixa 11
    VP=A    
        
    012...n-1
    RRRRR

    Solução matemática:

    A=R+R/(1+i)+R/(1+i)2+R/(1+i)3 +...+ R/(1+i)n-1

    que também pode ser escrito na forma

  12. Considere o problema do ítem 10 e uma nova alternativa. Refinanciar a compra do objeto que custa o Valor Presente (obtido no Fluxo de Caixa 10) em 4 parcelas iguais e seguidas a partir do mês inicial. Considere a mesma taxa bancária de juros. Qual deverá ser o valor de cada nova parcela R? Qual será o percentual de aumento da prestação em relação à prestação anterior, com esta nova alternativa?

    Fluxo de Caixa 12
    4.100,20   
       
    0123
    R ?R ?R ?R ?

    Solução matemática: Como i=7%=0,07; VP=4.100,20 e n=4, então pela Fórmula do ítem anterior, temos que:

    que pode ser escrito na forma

    4.100,20 = R × 3,6243160444

    de onde segue que

    R = 1.131,30

    A nova parcela sobre a anterior aumentou 13,20%.

    Observação: Este percentual poderá mudar se a taxa aplicada for alterada.


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