Matemática Financeira: Análise de Investimento ou Financiamento

Elementos gerais

Em uma operação financeira de Investimento ou Financiamento, existem várias situações que interferem na nossa decisão sobre a escolha de uma dentre as várias possíveis alternativas. Em geral, temos o conhecimento da Taxa de Mercado, também conhecida como a Taxa de Atratividade do Mercado e desejamos saber a taxa real de juros da operação, para poder tomar uma decisão.

Existem dois importantes objetos matemáticos que são utilizados na análise da operação financeira de Investimento ou Financiamento: Valor Presente Líquido (NPV) e Taxa Interna de Retorno (IRR).


Valor Presente Líquido (NPV)

O Valor Presente Líquido (NPV=Net Present Value) de um fluxo de caixa de uma operação é o somatório de todos os valores atuais calculados no instante t=0 para cada elemento isolado da operação.


Taxa Interna de Retorno (IRR)

A Taxa Interna de Retorno (IRR=Internal Rate Return) de um fluxo de caixa da operação é a taxa real de juros da operação financeira.


Conexão entre NPV e IRR

Há uma íntima relação entre esses dois objetos matemáticos, sendo que as considerações sobre eles devem resultar de análise invertidas quando se tratar de Investimentos ou Financiamentos.

A razão desta inversão é que alguém, ao realizar um Investimento de capital espera ampliar o mesmo, ao passo que ao realizar um Financiamento de um bem espera reduzir a aplicação.

Em um Investimento, se NPV for positivo, a Taxa Real (IRR) é maior do que a Taxa de Mercado, se NPV for negativo, a Taxa real (IRR) é menor do que a Taxa de Mercado e se NPV=0 então a Taxa de Mercado coincide com a Taxa Real (IRR).

Conclusão: Em um Investimento, se NPV é maior então a Taxa (IRR) também é maior.

Em um Financiamento, se NPV for positivo, a Taxa Real IRR é menor do que a Taxa de Mercado, se NPV for negativo, a Taxa real IRR é maior do que a Taxa de Mercado e se NPV=0, então a Taxa de Mercado coincide com a Taxa Real (IRR).

Conclusão: Em um Financiamento, se NPV é maior então a Taxa (IRR) é menor.

Estas duas análises podem ser reduzidas ao


Quadro comparativo

NPV IRR do Investimento IRR do Financiamento
Igual a 0 Igual à Taxa de mercado Igual à Taxa de mercado
Positivo  Maior que a Taxa de mercado Menor que a Taxa de mercado
Negativo Menor que a Taxa de mercado Maior que a Taxa de mercado

Análise entre dois Investimentos

Se tivermos dois Investimentos: Invest1 e Invest2 e os respectivos Valores Presentes Líquidos forem indicados por NPV1 e NPV2, o investimento com maior Valor Presente Líquido é o que proporciona; maior retorno ao investidor, isto é:

Se NPV1 > NPV2 então Invest1 é melhor do que Invest2


Análise entre dois Financiamentos

Se tivermos dois Financiamentos: Financ1 e Financ2 e os respectivos Valores Presentes Líquidos forem indicados por NPV1 e NPV2, o Financiamento com maior Valor Presente Líquido é o que proporciona o menor retorno para a pessoa que financiou, isto é:

Se NPV1 > NPV2 então Financ1 é pior do que Financ2


A Matemática do Valor Presente Líquido (NPV)

Para obter o Valor Presente Líquido, devemos construir o Fluxo de Caixa da operação e levar em consideração algumas possibilidades:

Operação com parcelas iguais (Begin): Seja uma operação de Investimento ou Financiamento durante n períodos, com uma renda R em cada período, a partir do instante t=0 a uma Taxa de mercado i. O fluxo de caixa aparece na tabela:

t 0 1 2 3 4 ... n-1 n
Renda R R R R R R R 0

Tomando u=1+i, poderemos escrever:

NPV = R + R/u + R/u²+ R/u³ +...+ R/un-1

ou a forma mais simples

NPV = R [un - 1]÷[iun-1]

Exemplo: Qual é o Valor Presente Líquido (NPV) de um Investimento mensal de R=100,00, durante n=24 meses, à taxa de mercado i=1,5%, iniciando a aplicação no instante t=0?

Neste caso (Begin): R=100; n=24 e i=0,015. Usando a fórmula acima, teremos:

NPV = 100 [(1,015)24 - 1]÷[0,015(1,015)23] = 2.033,09

Operação com parcelas iguais (End): Seja uma operação de Investimento ou Financiamento durante N períodos, com uma renda r em cada período, a partir do instante t=1 a uma Taxa de mercado I. O fluxo de caixa aparece na tabela:

t 0 1 2 3 4 ... n-1 n
Renda 0 R R R R R R R

Tomando u=1+i, poderemos escrever:

NPV = R/u + R/u²+ R/u³+...+R/un

ou na forma mais simples

NPV = R.[un - 1]÷[i.un]

Exemplo: Qual é o Valor Presente Líquido (NPV) de um Investimento mensal de R=100,00, por n=24 meses, à taxa de i=1,5%, iniciando a aplicação no instante t=1?

Neste caso (End): R=100; n=24 e i=0,015. Usando a fórmula acima, teremos:

NPV = 100 [(1,015)24 - 1] ÷[0,015 (1,015)24]= 2.003,04


Operação com parcelas diferentes: Tomemos a situação que um indivíduo invista durante algum tempo parcelas distintas, a partir do instante t=0 a uma Taxa de mercado i. O fluxo de caixa dessa situação pode ser visto na tabela:

t 0 1 2 3 4 ... n-1
Renda R0 R1 R2 R3 R4 ... Rn-1

Tomando u=1+i, poderemos escrever:

NPV = Ro + R1/u1 + R2/u² + R3/u³ +...+ Rn-1/un-1

Exemplo: Qual será o Valor Presente Líquido (NPV) de alguns Investimentos de acordo com a tabela abaixo, à taxa de mercado i=1,25% ao mês.

Tempo 0 1 2 3 4
Renda 0 1.000 2.000 1.500 2.500

Tomando u=1+i=1,0125, obteremos:

NPV = 1000/u + 2000/u² + 1500/u³ +2500/u4 = 6.762,51


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