Alegria Matemática: Extração da raiz quadrada de um número

Extrair a raiz quadrada de um número inteiro A não negativo é obter um outro número real r tal que r²=A. Se a igualdade não é possível, pelo menos esperamos que r² seja um número menor do que A e próximo de A.

Apresentaremos o processo para extrair a raiz quadrada de A=127599 para implementar um processo geral.

  1. Tome uma folha de papel, trace uma linha vertical e outra horizontal para obter 4 quadrantes. O número A é posto no canto superior esquerdo e a raiz aparecerá no canto superior direito.

    127599              | Canto Sup. Direito
    ------------------- | ------------------
    Canto Inf. Esquerdo | Canto Inf. Direito
    
  2. Decompomos o número inteiro A em classes de dois algarismos da direita para a esquerda.

    12.75.99 | ........
    -------- | --------
    ........ | ........
    
  3. Ordenamos as classes da esquerda para a direita com os valores das classes indicados por C1, C2, C3, ...

    C1.C2.C3 | ........
    -------- | --------
    ........ | ........
    

    Neste exemplo: C1=12, C2=75 e C3=99.

  4. C1 poderá ter um ou dois algarismos (neste caso tem 2) e os valores de todas as classes serão menores do que 100.

    12.75.99 | ........
    -------- | --------
    ........ | ........
    
  5. Quais são os números inteiros positivos B que elevados ao quadrado são menores ou iguais que C1=12? Os valores possíveis para B são 0, 1, 2 ou 3.

  6. O maior número inteiro com esta propriedade é B=3. Colocamos 3 no canto superior direito.

    12.75.99 | 3.......
    -------- | --------
    ........ | ........
    
  7. Colocamos B²=3²=9 em baixo de C1

    12.75.99 | 3.......
    -------- | --------
    .9...... | ........
    
  8. Realizamos a diferença D=C1-B²=3, pondo este último valor abaixo de uma nova linha.

    12.75.99 | 3.......
    -------- | --------
    .9...... | ........
    -------- |
    .3...... |
    
  9. Baixamos a classe C2=75 até a linha onde está a diferença D=3.

    12.75.99 | 3.......
    -------- | --------
    .9...... | ........
    -------- |
    .3.75... |
    
  10. Reunimos D=3 com C2=75 para formar o número E=375.

    12.75.99 | 3.......
    -------------------
    .9...... | ........
    -------- |
    ..375... |
    
  11. Colocamos 2B (dobro de B=3) no canto inferior direito.

    12.75.99 | 3.......
    -------- | --------
    .9...... | 6.......
    -------- |
    ..375... |
    
  12. A divisão inteira de E=375 por 6=2B ainda deve ser dividida por 10 para obtermos o próximo algarismo F no processo. O 10 indica que este é o dígito das dezenas para a raiz quadrada. Dessa forma, F=E÷(20B)=375÷60= 6

  13. F=6 ficará à direita de B=3 no canto superior direito, à direita de 2B no canto inferior direito e em baixo deste último número no canto inferior direito com um sinal de multiplicação.

    12.75.99 | 36.......
    -------- | ---------
    .9...... | 66x6=....
    -------- |
    ..375... |
    
  14. Multiplicamos os números do canto inferior direito.

    12.75.99 | 36.......
    -------- | ---------
    .9...... | 66x6=376.
    -------- |
    ..375... |
    
  15. Como o produto é maior do que o número 375 que está no canto inferior esquerdo, repetimos este passo com F-1 no lugar de F.

    12.75.99 | 35.......
    -------- | ---------
    .9...... | 65x5=325.
    -------- |
    ..375... |
    
  16. Com F-1 no lugar de F obtemos um novo produto G=325 que agora é menor do que E=375. Devemos diminuir de 1 em 1 o número F até que G seja menor ou igual que E.

  17. Após obter o F=5 adequado, pomos o número formado pelos dígitos B e F no canto superior direito e o número G em baixo de E, para obter a diferença H=E-G=50.

    12.75.99 | 35.......
    -------- | ---------
    .9...... | 65x5=325.
    -------- |
    ..375... |
    ..325... |
    -------- |
    ...50... |
    
  18. Baixamos a próxima classe C3=99 até a linha que contém a diferença H=50.

    12.75.99 | 35.......
    -------- | ---------
    .9...... | 65x5=325.
    -------- |
    ..375... |
    ..325... |
    -------- |
    ...50.99 |
    
  19. Formamos agora um novo número I=5099 e tomamos BF=35.

    12.75.99 | 35.......
    -------- | ---------
    .9...... | 65x5=325.
    -------- |
    ..375... |
    ..325... |
    -------- |
    ....5099 |
    
  20. No canto inferior direito, em baixo do produto 65x5=325, colocamos o dobro de BF, que é 70.

    12.75.99 | 35.......
    -------- | ---------
    .9...... | 65x5=325
    -------- | 70
    ..375... |
    ..325... |
    -------- |
    ....5099 |
    
  21. Como já é a segunda vez que realizamos esta operação, devemos realizar a divisão inteira de I=5099 por 20BF=700 para obter J=I÷(20BF)=5099÷700=7. O número J=7 será posto à direita de BF, à direita do dobro de BF e em baixo deste último número, no canto inferior direito.

    12.75.99 | 357......
    -------- | ---------
    .9...... | 65x5=325
    -------- | 707x7=
    ..375... |
    ..325... |
    -------- |
    ....5099 |
    
  22. Multiplicamos J=7 pelo número K=707 formado por 2BF e J.

    12.75.99 | 357.......
    -------- | ----------
    .9...... | 65x5 = 325
    -------- | 707x7=4949
    ..375... |
    ..325... |
    -------- |
    ....5099 |
    
  23. Verificamos que este produto L=4949 é menor do que I=5099. Se não for menor, trocamos J por J-1 e repetimos este passo.

  24. Realizamos a diferença M=I-L=5099-4949=150. Nesse momento, você deverá estar com o número formado pelos dígitos B, F e J no canto superior direito. Este é o número representa a raiz quadrada que você está procurando!

    12.75.99 | 357.......
    -------- | ----------
    .9...... | 65x5 = 325
    -------- | 707x7=4949
    ..375... |
    ..325... |
    -------- |
    ....5099 |
    ....4949 |
    -------- |
    .....150 |
    
  25. Observamos que o número BFJ=357 é o maior número inteiro positivo que elevado ao quadrado ainda é menor do que 127599, mas podemos melhorar a precisão do cálculo para a raiz quadrada, obtendo o próximo número decimal após BFJ.

  26. Como zeros depois da vírgula não têm significado, podemos acrescentar uma "nova" classe C4=00 após a classe C3, com o cuidado de inserir uma vírgula no lugar do ponto separador e uma outra vírgula após o número BFJ.

    12.75.99,00 | 357,......
    ----------- | ----------
    .9...... .. | 65x5 = 325
    ----------- | 707x7=4949
    ..375... .. |
    ..325... .. |
    ----------- |
    ....5099 .. |
    ....4949 .. |
    ----------- |
    .....150 .. |
    
  27. Baixamos a classe 00 até a linha contendo a diferença e realizamos a junção destes dois números. Colocamos o dobro de BFJ no canto inferior direito, esquecendo da vírgula e considerando este número como um número inteiro.

    12.75.99,00 | 357,......
    ----------- | ----------
    .9...... .. | 65x5 = 325
    ----------- | 707x7=4949
    ..375... .. | 714
    ..325... .. |
    ----------- |
    ....5099 .. |
    ....4949 .. |
    ----------- |
    ......15000 |
    
  28. No canto inferior direito, em baixo dos dois produtos, pomos um algarismo N adequado (neste caso N=2, pois este é o maior algarismo que serve aos nossos propósitos), na frente de 2(BFJ) e formamos um produto como o que está indicado abaixo. Realizamos este último produto.

    12.75.99,00 | 357,2.......
    ----------- | ------------
    .9...... .. | 65 x 5 = 325
    ----------- | 707x7 = 4949
    ..375... .. | 7142x2=14284
    ..325... .. |
    ----------- |
    ....5099 .. |
    ....4949 .. |
    ----------- |
    ......15000 |
    
  29. Realizamos a diferença

    12.75.99,00 | 357,2.......
    ----------- | ------------
    .9...... .. | 65 x 5 = 325
    ----------- | 707x7 = 4949
    ..375... .. | 7142x2=14284
    ..325... .. |
    ----------- |
    ....5099 .. |
    ....4949 .. |
    ----------- |
    ......15000 |
    ......14284 |
    ----------- |
    ........716 |
    
  30. Podemos continuar o processo inserindo novas classes 00 para obter resultados mais precisos. Afirmamos então que, a raiz quadrada de 127.599 é aproximadamente igual a 357,21, pois:

    (357,21)² ~ 127.598,9841


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