Alegria Matemática: Cálculos Rápidos

50 dicas para cálculo rápido, comumente encontradas no cotidiano e no comércio em geral. Mostradas em 23 grupos de dicas, sendo que os ítens do mesmo grupo apresentam características semelhantes.


Dica 01-1: Multiplicar por 10

Deslocar a vírgula 1 casa decimal para a direita.

Exemplo: 12×10=120

Exemplo: 12,345×10=123,45

Dica 01-2: Multiplicar por 100

Deslocar a vírgula 2 casas decimais para a direita.

Exemplo: 12×100=1200

Exemplo: 12,345×100=1234,5

Dica 01-3: Multiplicar por 1000

Deslocar a vírgula 3 casas decimais para a direita.

Exemplo: 12×1000=12000

Exemplo: 12,345×1000=12345

Dica 01-4: Multiplicar por 10n

Deslocar a vírgula n casas decimais para a direita.

Exemplo: 12×107=120000000

Exemplo: 12,345×107=123450000

Dica 02-1: Dividir por 10

Deslocar a vírgula 1 casa decimal para a esquerda.

Exemplo: 12÷10=1,2

Exemplo: 12,345÷10=1,2345

Dica 02-2: Dividir por 100

Deslocar a vírgula 2 casas decimais para a esquerda.

Exemplo: 12÷100=0,12

Exemplo: 12,345÷100=0,12345

Dica 02-3: Dividir por 1000

Deslocar a vírgula 3 casas decimais para a esquerda.

Exemplo: 12÷1000=0,0120

Exemplo: 12,345÷1000=0,012345

Dica 02-4: Dividir por 10n

Deslocar a vírgula n casas decimais para a esquerda.

Exemplo: 12÷107=0,0000012

Exemplo: 12,345÷107=0,0000012345

Dica 03-1: Multiplicar por 4 = Dividir por 0,25

Tomar o dobro do dobro do número.

Exemplo: 4×16=2×2×16=2×32=64

Exemplo: 12,3×4=2×2×12,3=2×24,6=49,2

Dica 03-2: Multiplicar por 0,4 = Dividir por 2,5

Tomar o dobro do dobro do número e dividir por 10.

Exemplo: 0,4x16=2x2x16÷10=2x32÷10=64÷10=6,4

Exemplo: 0,4x12,3=2x2x12,3÷10=2x24,6÷10 =49,2÷10=4,92

Dica 03-3: Multiplicar por 40 = Dividir por 0,25

Tomar o dobro do dobro do número e multiplicar por 10.

Exemplo: 40×16=2×2×16×10=2×32×10=64×10=640

Exemplo: 40x12,3=2x2x12,3×10=2x24,6×10 =49,2x10=492

Dica 04-1: Dividir por 4 = Multiplicar por 0,25

Tomar a metade da metade do número.

Exemplo: 16÷4=16÷2÷2=8÷2=4

Exemplo: 12,3÷4=12,3÷2÷2=6,15÷2=3,075

Dica 04-2: Dividir por 0,4 = multiplicar por 2,5

Tomar a metade da metade do número e multiplicar por 10.

Exemplo: 16÷0,4=16÷2÷2x10=8÷2x10= 4x10=40

Exemplo: 12,3÷0,4=12,3÷2÷2x10=6,15÷2x10 =3,075x10=30,75

Dica 04-3: Dividir por 40 = Multiplicar por 0,25

Tomar a metade da metade do número e dividir por 10.

Exemplo: 16÷40=16÷2÷2÷10=8÷2÷10=4÷10=0,4

Exemplo: 12,3÷40=12,3÷2÷2÷10= 6,15÷2÷10 =3,075÷10=0,3075

Dica 05-1: Multiplicar por 5 = Dividir por 0,2

Tomar a metade do número e multiplicar por 10.

Exemplo: 5×16=16÷2×10=8×10=80

Exemplo: 5×12,3=12,3÷2×10=6,15×10=61,5

Dica 05-2: Multiplicar por 0,5 = Dividir por 2

Tomar a metade do número.

Exemplo: 0,5×16=16÷2=8

Exemplo: 0,5×12,3=12,3÷2=6,15

Dica 05-3: Multiplicar por 50 = Dividir por 0,02

Tomar a metade do número e multiplicar por 100.

Exemplo: 50×16=16÷2×100=8×100=800

Exemplo: 50×12,3=12,3÷2×100=6,15×100=615

Dica 06-1: Dividir por 5 = Multiplicar por 0,2

Tomar o dobro do número e dividir por 10.

Exemplo: 16÷5=2×16÷10=32÷10=3,2

Exemplo: 12,3÷5=12,3×2÷10=24,6÷10=2,46

Dica 06-2: Dividir por 0,5 = Multiplicar por 2

Tomar o dobro do número.

Exemplo: 16÷0,5=2×16=32

Exemplo: 12,3÷0,5=12,3×2=24,6

Dica 06-3: Dividir por 50 = Multiplicar por 0,02

Tomar o dobro do número.

Exemplo: 16÷50=2×16÷100=32÷100=0,32

Exemplo: 12,3÷50=2×12,3÷100=24,6÷100=0,246

Dica 07-1: Elevar ao quadrado número da forma [M5]

Decompõe-se o número em duas partes: M e 5. A primeira parte M deve ser multiplicada por M+1 e ao resultado se acrescenta 25.

Justificativa Matemática

[M5] = 10M + 5 logo
[M5]² = (10M+5)² = 100 M² + 100M + 25
(10M+5)² = 100 (M² + M) + 25
(10M+5)² = 100 M × (M+1) + 25

Exemplo: 35²=(3x4)25=1225

Exemplo: 75²=(7x8)25=5625

Exemplo: 105²=(10x11)25=11025

Exemplo: 205²=(20x21)25=42025

Dica 08-1: Multiplicar por 11

Se o número tem dois algarismos na forma [MN] com M+N<10 então o produto é escrito como [M,M+N,N].

Justificativa Matemática

Como [MN] = 10M + N, então
(10M+N) × 11 = (10M+N) × (10+1)
(10M+N) × 11 = 100M + 10M + 10N + 1
(10M+N) × 11 = 100M + 10(M+N) + 1
(10M+N) × 11 = 100M + 10(M+N) + 1 = [M,M+N,1]

Exemplo: 35×11=(3,8,5)=385

Exemplo: 27×11=(2,9,7)=297

Dica 08-2: Multiplicar por 11

Se o número tem dois algarismos na forma [MN] e M+N>10 então, escreve-se [M+1,M+N-10,N].

Justificativa Matemática

Como [MN] = 10M + N, então
(10M+N)×11=(10M+N)×(10+1) = 100M+10M+10N+1
(10M+N)×11=(10M+N)×(10+1) = 100M+10M+10N+1
(10M+N)×11=100M +100 - 100 + 10(M+N)+1
(10M+N)×11=100(M+1)+10(M+N-10)+1=[M+1,M+N-10,1]

Exemplo: 78×11=(8,5,8)=858

Exemplo: 95×11=(10,4,5)=1045

Dica 08-3: Multiplicar por 11

Se o número tem três algarismos na forma [ABC] e A+B+C<10 então, escreve-se [A, A+B, B+C, C].

Justificativa Matemática

Como [ABC] = 100A + 10B + C, então
(100A+10B+C)×11 = (100A+10B+C)×(10+1)
(100A+10B+C)×11 = 1000A+100B+10C+100A+10B+C
(100A+10B+C)×11 = 1000A+100(A+B)+10(B+C)+C
(100A+10B+C)×11 = [A,A+B,B+C,C]

Exemplo: 134×11=(1,1+3,3+4,4)=(1,4,7,4)=1474

Exemplo: 235×11=(2,2+3,3+5,5)=(2,5,8,5)=2585

Dica 09-1: Multiplicar por 25 ou Dividir por 0,04

Dividir o número por 4 e multiplicar por 100.

Exemplo: 16×25=16÷2÷2×100=8÷2×100=4×100=400

Exemplo: 12,3×25=12,3÷2÷2×100=6,15÷2×100 =3,075×100=307,5

Dica 09-2: Multiplicar por 2,5 = dividir por 0,4

Dividir o número por 4 e multiplicar por 10.

Exemplo: 16×2,5=16÷2÷2×10=8÷2×10=4×10=40

Exemplo: 12,3×2,5=12,3÷2÷2×10=6,15÷2×10 =3,075×10=30,75

Dica 09-3: Multiplicar por 0,25 = dividir por 4

Dividir o número por 4.

Exemplo: 16×0,25=16÷2÷2=8÷2=4

Exemplo: 12,3×0,25=12,3÷2÷2=6,15÷2=3,075

Dica 10-1: Multiplicar por 101

Se o número tem dois algarismos na forma [AB] escreve-se o produto na forma [A,B,A,B]

Exemplo: 35×101=(3,5,3,5)=3535

Exemplo: 27×101=(2,7,2,7)=2727

Dica 10-2: Multiplicar por 101

Se o número tem três algarismos na forma [ABC] com A+C<10, escreve-se [A,B,A+C,B,C].

Justificativa Matemática

Como [ABC] = 100A + 10B + C, então
[ABC]×101 = (100A+10B+C)×101
[ABC]×101 = (100A+10B+C)×(100+1)
[ABC]×101 = 10000A+1000B+100C+100A+10B+C
[ABC]×101 = 10000A+1000B+100(A+C)+10B+C
[ABC]×101 = [A,B,A+C,B,C]

Exemplo: 435×101=(4,3,(4+5),3,5)=(4,3,9,3,5)=43935

Exemplo: 257×101=(2,5,(2+7),5,7) =(2,5,9,5,7)=25957

Dica 11-1: Multiplicar por 9

Se o número tem a forma [MN], basta acrescentar um zero no final do número MN (multiplicar por 10) e retirar o próprio número MN.

Exemplo: 35×9=350-35=315

Exemplo: 27×9=270-27=243

Dica 11-2: Multiplicar por 99

Se o número tem a forma MN, como 99=100 - 1, basta acrescentar dois zeros ao número MN (multiplicar por 100) e retirar o próprio número MN.

Exemplo: 35×99=3500-35=3465

Exemplo: 27×99=2700-27=2673

Dica 12-1: Produto de números com diferença 2 entre eles

Se o primeiro número é X e o segundo número é Y, eles podem ser escritos como M-1 e M+1, onde M é o valor médio entre X e Y e o produto entre eles é (M-1)x(M+1)=M² -1, logo basta elevar M ao quadrado e retirar o valor 1.

Exemplo: 14×12=13² -1=169-1=168

Exemplo: 14×16=15² -1=225-1=224

Exemplo: 34×36=35² -1=1225-1=1224

Dica 12-2: Produto de números com diferença 4 entre eles

Se o primeiro número é X e o segundo número é Y, eles podem ser escritos como M-2 e M+2, onde M é o valor médio entre X e Y. Assim o produto entre eles é (M-2)x(M+2)=M²-4, logo basta elevar M ao quadrado e retirar o valor 4.

Exemplo: 14×18=16² -4=256-4=252

Exemplo: 24×28=26² -4=576-4=572

Exemplo: 33×37=35² -4=1225-4=1221

Dica 12-3: Produto de números com diferença 6 entre eles

Se o primeiro número é X e o segundo número é Y, eles podem ser escritos como M-3 e M+3, onde M é o valor médio entre X e Y. Assim o produto entre eles é (M-3)x(M+3)=M²-9, logo basta elevar M ao quadrado e retirar o valor 9.

Exemplo: 14×20=17² -9=289-9=280

Exemplo: 51×57=54² -9=2916-9=2907

Dica 13-1: Multiplicar por 1,5

Somar o número com a sua metade.

Exemplo: 16×1,5=16+8=24

Exemplo: 12,3×1,5=12,3+6,15=18,45

Dica 13-2: Multiplicar por 15

Somar o número com a sua metade e multiplicar por 10.

Exemplo: 16×15 =(16+8)×10=24×10=240

Exemplo: 12,3×15=(12,3+6,15)×10=18,45×10=184,5

Dica 13-3: Multiplicar por 0,15

Somar o número com a sua metade e dividir por 10.

Exemplo: 16×15 =(16 + 8)÷10=24÷10=2,4

Exemplo: 12,3×15=(12,3 + 6,15)÷10=18,45÷10=1,845

Dica 14-1: Multiplicar números com algarismos das dezenas iguais, mas a soma dos algarismos das unidades = 10

Se o primeiro número é [MA] e o segundo número é [MB], o produto é obtido como: (Mx(M+1),AxB)

Justificativa Matemática

[MA]=10M + A, [MB]=10M + B, A+B=10
[MA]x[MB]=(10M+A)x(10M+B)=100M²+10Mx(A+B)+AxB
[MA]x[MB]=100M² + 100M + AxB
[MA]x[MB]=100Mx(M+1) + AxB

Exemplo: 14×16=(1x2,4x6)=(2,24)=224

Exemplo: 17×13=(1x2,7x3)=(2,21)=221

Exemplo: 34×36=(3x4,4x6)=(12,24)=1224

Exemplo: 34×36=(3x4,4x6)=(12,24)=1224

Exemplo: 73×77=(7x8,3x7)=(56,21)=5621

Exemplo: 104×106=(10x11,4x6)=(110,24)=11024

Dica 15-1: Elevar ao quadrado número da forma [5P]

Decompõe-se o número em 5 e P,escrevendo-se o produto como (25+P,PxP).

Justificativa Matemática

[5P]=50 + P, logo
(50+P)² = 2500 + 2x50xP + P²
(50+P)² = 2500 + 100 P + P²
(50+P)² = (100x(25+P)+P²

Exemplo: 53²=(25+3,09)=(28,09)=2809

Exemplo: 54²=(25+4,16)=(29,16)=2616

Exemplo: 58²=(25+8,64)=(33,64)=3364

Exemplo: 59²=(25+9,81)=(34,81)=3481

Dica 16-1: Elevar ao quadrado número da forma [M1]

Decompomos o número em duas partes: M e 1. O resultado é a soma da primeira parte elevada ao quadrado com a soma de [M1] com [M0].

Justificativa Matemática

Como (X+1)²=X² + 2X + 1, então
[M1]² = (10M+1)²
[M1]² = 100 M² + 20M + 1
[M1]² = 100 M² + (10M+1) + (10M)
[M1]² = [M²,[M+1+M]]

Exemplo: 31²=[900, 31+30]=[900,61]=961

Exemplo: 71²=[4900,71+70]=[4900,141]=5041

Exemplo: 101²=[10000,101+100]=[10000,201]=10201

Exemplo: 151²=[150²,151+150]=[22500,301]=22801

Dica 17-1: Multiplicar dois números por decomposição

Se o primeiro número X tem um algarismo e o segundo número [YZ] tem dois algarismos, escrevemos [YZ]=10Y+Z e usamos a distributividade dos números reais para realizar o produto.

Justificativa Matemática

Como [YZ] = 10Y + Z, então
X×[YZ] = X × (10Y + Z) = 10×X×Y + X×Z

Exemplo: 8×13=8×10+8×3=80+24=104

Exemplo: 9×17=9×10+9×7=90+63=153

Exemplo: 15×22=15×20+15×2=300+30=330

Exemplo: 1,5×22=1,5×20+1,5×2=30+3=33

Exemplo: 1,5×2,2=(1,5×22)÷10=(1,5×20+1,5×2)÷10= (30+3)÷10=3,3

Dica 18-1: Subtraindo com soma compensada

Se o primeiro número [XY] tem dois algarismos e o segundo número [WZ] também tem dois algarismos mas o algarismo Y é menor do que Z, então somamos e subtraimos um número D (diferença entre Z e Y) para que ambos tenham os algarismos das unidades iguais até a realização da primeira diferença e depois subtraimos D do resultado obtido anteriormente.

Justificativa Matemática

Se a diferença entre Z e Y é D=Z-Y, então:
[XY]-[WZ] = (10X + Y) - (10W + Z)
[XY]-[WZ] = 10(X-W) + (Y-Z)
[XY]-[WZ] = 10(X-W) + (Y-Z) +D -D
[XY]-[WZ] = 10(X-W) - D

Exemplo: 72-48=72+6-6-48=78-6-48=78-48-6=30-6=24

Exemplo: 57-49=57+2-2-49=59-2-49=10-2=8

Exemplo: 142-88=142+6-6-88=148-88-6=60-6=54

Dica 18-2: Subtraindo com soma compensada

Se o primeiro número [XY] tem dois algarismos e o segundo número [WZ] também tem dois algarismos mas o algarismo Y é menor do que Z, então somamos um mesmo número D aos dois números dados de modo a zerar o algarismo das unidades do menor e então realizamos a diferença.

Justificativa Matemática

Se D é a diferença entre 10 e Z, isto é
D+Z=10, então:
[XY]-[WZ] = (10X + Y) - (10W + Z)
[XY]-[WZ] = (10X + Y + D) - (10W + Z + D)
[XY]-[WZ] = (10X + Y + D) - (10W + 10)
[XY]-[WZ] = (10X - 10W - 10) + (Y + D)
[XY]-[WZ] = [X-W-1,Y+D]

Exemplo: 72-48=(72+2)-(48+2)=74-50=24

Exemplo: 57-49=(57+1)-(49+1)=58-50=8

Exemplo: 142-87=(142+3)-(87+3)=145-90=55

Dica 18-3: Somando com soma compensada

Se o primeiro número [XY] tem dois algarismos e o segundo número [WZ] também tem dois algarismos mas o algarismo Y é menor do que Z, então somamos um mesmo número D ao último número e subtraimos D do primeiro número dado de modo a zerar o algarismo das unidades do segundo número dado e realizamos a soma.

Justificativa Matemática

Se D é a diferença entre 10 e Z, isto é
D+Z=10, então:
[XY] + [WZ]=(10X + Y) + (10W + Z)
[XY] + [WZ]=(10X + Y - D) + (10W + Z + D)
[XY] + [WZ]=(10X + Y + D) + (10W + 10)
[XY] + [WZ]=(10X + 10W + 10) + (Y + D)
[XY] + [WZ]=[X+W+1,Y+D]

Exemplo: 72+48=(72-2)+(48+2)=70+50=120

Exemplo: 57+49=(57-1)+(49+1)=56+50=106

Exemplo: 142+87=(142-3)+(87+3)=139+90=229

Dica 18-4: Somando com soma compensada

Quando o primeiro número [XY] tem dois algarismos e o segundo número [WZ] também tem dois algarismos mas o algarismo Y é menor do que Z, então somamos um mesmo número D ao primeiro número e subtraimos D do segundo número dado de modo a zerar o algarismo das unidades do primeiro número dado e realizamos a soma.

Justificativa Matemática

Se D é a diferença entre 10 e Y, isto é
D+Y=10, então:
[XY] + [WZ]=(10X + Y) + (10W + Z)
[XY] + [WZ]=(10X + Y + D) + (10W + Z - D)
[XY] + [WZ]=(10X + 10) + (10W + Z - D)
[XY] + [WZ]=(10X + 10 + 10W) + (Z - D)
[XY] + [WZ]=[X+W+1,Z-D]

Exemplo: 72+48=(72+8)+(48-8)=80+40=120

Exemplo: 57+49=(57+3)+(49-3)=60+46=106

Exemplo: 142+87=(142+8)+(87-8)=150+79=229

Dica 19-1: Soma dos n primeiros números naturais

Para obter a soma S=1+2+3+...+n, basta tomar a metade do produto de n por n+1.

Justificativa Matemática

Se S = 1 + 2 + 3 + ... + n-2 + n-1 + n,
então, com os naturais trás para frente, obtemos
S = n + n-1 + n-2 + ... + 4 + 3 + 2 + 1
Somando membro a membro as duas igualdades:
2S=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+...+(n-1+2)+(n+1)
2S=(n+1)+(n+1)+ ... + (n+1)+(n+1) ( n vezes)
2S = n×(n+1)
S = n×(n+1)÷2

Exemplo: 1+2+3+...+12=12×13÷2=156÷2=78

Exemplo: 1+2+3+...+100=100×101÷2=5050

Exemplo: 13+14+...+100=5050-78=4972

Dica 20-1: Soma dos n primeiros números naturais ímpares

A soma S=1+3+5+7+...+2n-1 é obtida como o quadrado de n.

Justificativa Matemática

Seja S=1 + 3 + 5 + ... + 2n-5 + 2n-3 + 2n-1.
Pondo S com os termos de trás para frente
S=2n-1 + 2n-3 + 2n-5 + ... + 5 + 3 + 1
Somando membro a membro as duas igualdades:
2S=(1+2n-1)+(2+2n-3)+...+(2n-3+3)+(2n-1+1)
2S = 2n + 2n + 2n + ... + 2n ( n vezes)
2S=2n×n
S=n²

Exemplo: 1+3+5+...+5=5²=25

Exemplo: 1+3+5+...+101=101²=10201

Exemplo: 7+9+11+...+101=10201-25=10176

Dica 21-1: Soma dos n primeiros números naturais pares

Para obter a soma S=2+4+6+...+2n, basta multiplicar n por n+1, observando que n é exatamente a metade do último par (2n).

Justificativa Matemática

Seja S=2 + 4 + 6 + 2n-4 + 2n-2 + 2n.
Tomando os termos de trás para frente:
S=2n + 2n-2 + 2n-4 + ... + 6 + 4 + 2
Somando membro a membro as duas igualdades:
2S=(2+2n)+(4+2n-2)+...+(2n-2+4)+(2n+2)
2S=(2n+2) + (2n+2) + ... + (2n+2) ( n vezes)
2S=n×(2n+2)
S=n×(n+1)

Exemplo: 2+4+6+...+98+100=50×51=2550

Exemplo: 2+4+6+...+14=7×8=56

Exemplo: 16+18+20+...+98+100=2550-56=2494

Dica 22-1: Divisão aproximada por 17 = produto por 0,06

Para obter a "estimativa" da divisão de um número por 17, basta multiplicar por 6 e dividir por 100

Exemplo: 42÷17:=42x6÷100=252÷100=2,52; (o certo é 2,47)

Exemplo: 150÷17:=150x6÷100=900÷100=9; (o certo é 8,82)

Dica 23-1: Divisão aproximada por 33 = produto por 0,03

Para obter a "estimativa" da divisão de um número por 33, basta multiplicar por 3 e dividir por 100

Exemplo: 42÷33:=42×3÷100=126÷100=1,26 (±1,27)

Exemplo: 150÷33:=150×3÷100=450÷100=4,5 (±4,55)



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