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Introdução à harmonia

Há muito tempo conhecemos a importância da harmonia musical (quem não gosta de música?), porém o estudo da Harmonia, do ponto de vista da Matemática, não é comum em vários níveis educacionais. Tratamos aqui sobre os conceitos de Média Harmônica e de Harmônico Global, que aqui defino. Tais conceitos são apresentados através de suas definições e os conceitos interrelacionados aparecem em situações práticas.

Média Harmônica

A média harmônica de n números reais positivos x₁, x₂,... , x_n é o número real positivo H, definido por:

Assim, estamos realizando o somatório sobre todos os inversos dos n números reais positivos dados, isto é, a Média Harmônica H é o inverso da média aritmética dos inversos dos n números x₁, x₂, ...,x_n.

É evidentemente que este cálculo não é fácil de ser entendido por pessoas que não possuem um bom entendimento de Matemática, no entanto apresentamos uma outra "média" que usa o senso prático.

Podemos interpretar o valor numérico da Média Harmônica H como o número que representa a capacidade média individual da ação de n agentes (indíviduos ou entes) que estão agindo harmonicamente, ou seja, H representa a capacidade de um agente que é capaz de substituir cada um dos n agentes quando atuando em conjunto.

A média harmônica é muito útil em diversas situações práticas, mas o Harmônico global, é uma outra medida de caráter harmônico com valor prático muito maior.

Harmônico Global

O Harmônico Global dos números reais positivos x₁, x₂, ..., x_n é o número real positivo h, definido por:

isto é, o Harmônico Global h é um número que representa o inverso da soma dos inversos dos n números x₁, x₂, ...,x_n.

Isto significa na prática que, este número h representa a capacidade média global da ação dos n agentes (entes ou indíviduos) agindo em conjunto de uma forma harmônica, isto é, h representa a capacidade de um único agente substituir todos os agentes ao mesmo tempo.

Aplicações práticas

Apresentaremos vários problemas práticos que utilizam o conceito de Harmônico global e um exemplo com a Média Harmônica, assim como as fórmulas que devem ser usadas para obter as soluções, além das soluções.

1. Torneiras amigas: Uma torneira enche uma caixa d'água em 4 horas e outra torneira enche a mesma caixa em 6 horas. Abrindo-se as duas torneiras ao mesmo tempo, qual será o tempo t necessário para encher a caixa?

   Fórmula	Dados e resposta
   	t1 = 4h, t2 = 6h t = 2h 24min

   
   

2. Torneiras inimigas: Uma torneira enche uma caixa d'água em 4 horas e outra torneira a esvazia em 6 horas. Abrindo-se as duas torneiras simultaneamente, qual será o tempo t necessário para encher a caixa d'água?

   Fórmula	Dados e resposta
   	t1 = 4h, t2 = –6 h t = 12h

   
   

3. Capacidade pessoal: Uma pessoa é capaz de construir um muro em 6 horas e outra pessoa tem a capacidade de trabalho para construir este mesmo muro em 9 horas. Pondo-se as duas pessoas trabalhando em conjunto, em quanto tempo t, o muro estará pronto?

   Fórmula	Dados e resposta
   	t1 = 6h, t2 = 9h t = 3h 36min

   
   

4. Resistores em paralelo: Qual é a resistência equivalente, no circuito elétrico abaixo contendo as resistências R₁ e R₂, ligadas em paralelo?

   
   

   Fórmula	Dados e resposta	Desenho
   	t1=R1 = 4 Ohm t2=R2 = 6 Ohm t=R = 2,4 Ohm

   
   

5. Capacitores em série: Qual é a capacidade equivalente de um capacitor que substitui os capacitores C₁ e C₂ no circuito abaixo se os dois capacitores estão ligados em série?

   
   

   Fórmula	Dados e resposta	Desenho
   	t1=C1 = 4 Farad t2=C2 = 6 Farad t=C = 2,4 Farad

   
   

6. Segmentos paralelos e média harmônica: Quanto mede o segmento EF na figura em anexo, se os segmentos AD e BC medem, respectivamente, 8 cm e 10 cm. Um fato interessante neste exemplo é que se tomarmos um segmento com o dobro da medida do segmento h, obteremos um segmento que representa a média harmônica entre os dois segmentos dados AD e BC.

   
   

   Fórmula	Dados e resposta	Desenho
   	t1=h1 = 8cm t2=h2 = 1 cm t=h= 4,44...cm

   
   

7. Circunferências ex-inscritas: Sejam três retas em um plano, formando uma região triangular fechada ABC e outras regiões abertas. Iremos construir uma circunferência com raio r, inscrita no triângulo ABC.
   A circunferência inscrita na região aberta, limitada pelas retas contendo os segmentos BA, BC e AC, tem raio r_b e fica externa ao triângulo ABC, razão pela qual é denominada circunferência ex-inscrita ao triângulo ABC. Do mesmo modo, podemos construir outras duas circunferências ex-inscritas de raios r_a e r_c. O raio r é o harmônico global dos raios r_a, r_b e r_c, isto é:

   

   
   

8. Velocidade média: Um carro se desloca de Londrina até NewLondres (distância de 100 Km), mantendo na ída uma velocidade média de 90 Km/h e na volta ao local de origem mantendo a velocidade média de 110 Km/h. Qual é a velocidade média durante todo o trajeto?

   Fórmula	Dados
   	v1 = 90km/h v2 = 110km/h vm = 99km/h !

Este problema é uma aplicação imediata da média harmônica e a resposta acima deve dar um susto em muita gente descuidada, pois a maioria das pessoas "gostaria" que fosse 100 km/h!

Todos os outros problemas, embora de situações distintas, mostram que o modelo matemático do Harmônico Global, é extremamente util no dia a dia. Em todas as situações acima, o que se nota é a harmonia da ação de todos os entes envolvidos, isto é, ocorre uma atitude conjunta e colaboradora com o objetivo de produzir um resultado. Existem muitas outras questões de caráter matemático que podem ser estudadas através do uso da Média Harmônica e do Harmônico Global.

	Construída por Ulysses Sodré.