Alegria Matemática: Sequências de Fibonacci: Aplicações

A sequência de Fibonacci (lê-se: fibonati)

{1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,...}

Para detalhes matemáticos das Sequências de Fibonacci, veja o nosso link: Propriedades Matemáticas das Sequências de Fibonacci.


Retângulo Áureo e o Nautilus

Anexando dois quadrados com lado=1, teremos um retângulo 2x1, sendo o lado maior igual à soma dos lados dos quadrados anteriores. Anexamos agora outro quadrado com lado=2 (o maior lado do retângulo 2x1) e teremos um retângulo 3x2. Continuamos a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos retângulos obtidos no passo anterior. A sequência dos lados dos próximos quadrados é: 3,5,8,13,... que é a sequência de Fibonacci.

Usando um compasso, trace um quarto de círculo no quadrado de lado L=13, de acordo com o desenho ao lado. De acordo com o desenho ao lado, trace quartos de círculos nos quadrados de lado L=8, L=5, L=3, L=2, L=1 e L=1.

Com as concordâncias dessas curvas, obtemos uma espiral como a do Nautilus marinho. Você acha que o "Nautilus" estudou Matemática para construir a sua casa?


Triângulo de Pascal

Triângulo chinês Ao examinar o Triângulo Chinês (nosso conhecido Triângulo de Pascal) dos anos 1300, Fibonacci observou que esta sequência numérica aparecia naquele documento. O aparecimento se dava através da soma de vários números binomiais localizados acima e ao lado direito do número anterior.



Segmento Áureo

Quando temos um segmento de reta com extremidades A e B, podemos determinar um ponto D neste segmento, dividindo-o em média e extrema razão.

Isto significa que é possível obter um ponto D e permite obter um segmento áureo neste segmento AB. O objetivo é encontrar um ponto D entre A e B tal que a razão entre o segmento AB e o segmento AD seja fi=(1,61803...).

Isto significa que o maior segmento AD é 1,61803... vezes a medida do menor segmento DB.

Obteremos o ponto médio do segmento AB. Coloque a ponta seca do compasso em um extremo, abra-o até o outro extremo e trace um arco para cima e para baixo do segmento de reta AB. Repita este procedimento com o outro extremo da reta, sem alterar a abertura do compasso. Os pontos onde os arcos se cruzam devem ser unidos por um segmento de reta (em vermelho) e o ponto onde este segmento cruza o primeiro segmento AB, é o ponto médio de AB;
Agora traçaremos uma reta perpendicular a AB passando por B com a metade do comprimento de AB;
Primeiro trace a reta perpendicular a AB usando um jogo de esquadros;
Com a ponta seca do compasso em B, abra-o até o ponto médio M e trace um arco até que este cruze a reta perpendicular a AB;
Temos agora uma nova reta BC perpendicular a AB com exatamente a metade do comprimento de AB;
Una este ponto que acabou de encontrar com o ponto A da primeira reta para formar um triângulo ABC;
Coloque a ponta seca do compasso no vértice C do triângulo e abra-o até o ponto B. Use este raio para marcar o ponto E na hipotenusa do triângulo;
Finalmente, com a ponta seca do compasso no vértice A, abra-o até o novo ponto E marcado na hipotenusa, e use este raio para marcar o ponto D na primeira reta AB. Este ponto é o ponto que divide o segmento AB em duas partes, onde o maior segmento é 1,6183....vezes o menor.

Obtivemos assim o ponto D que estávamos procurando.

Como podemos justificar este procedimento do ponto de vista matemático? Se o lado AB do triângulo mede 1 unidade de comprimento, então o lado BC mede a metade e obtemos a medida da hipotenusa com o teorema de Pitágoras.


AC2=AB2+BC2=1+1/4=5/4

Usando R[5] como a raiz quadrada de 5, podemos escrever que

AC = R[5]/2

O ponto E na hipotenusa é marcado de forma que CE tenha o mesmo comprimento que o lado CB, isto é 1/2, então;

AE=(R[5] - 1)/2

O ponto D é marcado a mesma distância de A, assim

AD = AE = ½(R[5] -1)

Temos então a proporção:


Ramos de troncos em árvores

Certas plantas mostram os números de Fibonacci no crescimento de seus galhos. Suponhamos que nasça um novo broto de um galho a cada mês, sendo que um broto leva dois meses para produzir o seu primeiro broto.

Existem várias plantas cujo crescimento se parecem com o descrito aqui. A planta Achillea ptarmica possui estas características.


Problema das abelhas

Abelha O macho da família de abelhas é chamado zangão, que é chocado de ovos não fertilizados (partogênese). Em função disso, cada zangão não tem pai mas têm um avô por parte materna. Usando as idéias de sequências de Fibonacci, você saberia calcular o número de ancestrais de um zangão n gerações atrás? Se não souber, faça uma pesquisa na Internet pois existem páginas excelentes sobre o assunto.



Reflexão de luz em uma fibra dupla de vidro

Consideremos dois vidros transparentes colados um sobre o outro e vamos admitir que incida um raio de luz sobre os vidros formando um ângulo oblíquo. O desenho nos mostra a seção transversal dos vidros.

(a) representa um raio de luz genérico; (b) representa um raio de luz que refletiu na superfície interna de contato entre as duas lâminas de vidro e (c) é o caso em que houve reflexão na superfície inferior das lâminas coladas de vidro.
Se a luz é refletida duas vezes, temos uma situação como
Se a luz é refletida três vezes, a situação se parece com

Você saberia indicar o número de possibilidades quando a luz refletir 4, 5, 6, 7, ou, n vezes?


Filotaxia

Os números de Fibonacci também são encontrados em arranjos de folhas (Filotaxia). Consideremos que exista um padrão helicoidal (para a esquerda ou para a direita) para as folhas em torno do caule. Cada conjunto de 3 folhas consecutivas (1,2,3) nascem formando um mesmo ângulo entre 1 e 2 e entre 2 e 3, mantendo uma certa distância ao longo do caule. Na figura, a folha 3 forma um mesmo ângulo com 2 da mesma forma que a folha 2 forma com 1. Admitimos o mesmo padrão para todas as folhas restantes. Neste exemplo, temos 5 folhas e 2 voltas. Cada volta é entendida como uma rotação de 360o para que uma folha possa se sobrepor à outra. Para que isto ocorra cada ângulo deverá ser igual a 2x360o÷5=144o.


Identificamos o período p como o número de voltas necessárias até nascer uma nova folha se sobrepondo à primeira e m indicará o número de folhas por período, neste caso, p=2 e m=5. Muitas experiências com plantas mostram que p e m assumem mais comumente valores como 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., que são os números da sequência de Fibonacci. Existem também exceções, mas os números de Fibonacci ocorrem tão frequentamente que não podem ser explicados como casuais. Os biólogos tentaram explicar a predominância dos números de Fibonacci na Filotaxia.

A simetria das folhas pode dar equilíbrio ao caule e também facilitar a exposição à luz, mas a ciência está longe de uma explicação satisfatória.

O homem tem ciência de algumas coisas da terra, mas a sabedoria é dom de Deus! No livro de Jó, Cap.28, Bíblia Sagrada, está escrito:

Pode-se analisar o cone de um pinheiro e observar as pétalas que se formam no mesmo. Pode-se observar a formação de dois tipos de espirais, para a esquerda e para a direita. Tais espirais são do mesmo tipo que aquelas estudadas antes. O número de pétalas quase sempre segue os números de Fibonacci. Normalmente um cone de pinheiro possui a espiral apoiada em quadrados iniciais com lados iguais a 5 e 8 ou 8 e 13. As folhas das violetas africanas seguem o padrão de Fibonacci. Uma grande quantidade de flores segue um padrão semelhante ao padrão da sequência de Fibonnaci.

Tome uma margarida, um girassol ou qualquer outra flor e olhe as posições relativas de suas pétalas assim como o núcleo onde fica a região branca na margarida ou as sementes no girassol. No girassol, as espirais são apoiadas em quadrados iniciais com 34 e 55 ou 55 e 89.

Tome um abacaxi e observe as espirais à direita e à esquerda que são formadas na casca do mesmo. Se você retirar a casca do abacaxi, você verá claramente os "olhos" que aparecem junto à parta interna da fruta. Não deixe de comer o abacaxi! Normalmente a espiral no abacaxi está apoiada em quadrados iniciais com lados iguais a 13, 21 ou 34.

Observe o tronco da planta "Agave" que tem folhas com extremidades pontiagudas. Se as folhas forem retiradas você observará claramente as espirais com padrão de Fibonacci.


Pintura e Arte

mona lisa Muitos artistas que viveram depois de Phidias usaram a proporção Áurea em seus trabalhos. Da Vinci a chamava: Divina Proporção e a usou em muitos de seus trabalhos. Na Mona Lisa observa-se a proporção Áurea em várias situações. Por exemplo, ao construir um retângulo em torno de seu rosto, veremos que este possui a proporção do retângulo Áureo. Podemos também subdividir este retângulo usando a linha dos olhos para traçar uma reta horizontal e ter de novo a proporção Áurea. Podemos continuar a explorar tal proporção em várias outras partes do corpo. Artistas têm usado a razão de ouro (medida de Ouro) em trabalhos de pintura e arte. Os trabalhos de Seurat e Mondrian mostram estas relações matemáticas.



Anatomia

Leonardo da Vinci, em seus estudos de Anatomia, trabalhou com um modelo padrão (O canon) para a forma de um ser humano, utilizando Vitrúvio como modelo. Tais dimensões aparecem na gravura abaixo. A notação a:b=c:d é uma proporção.


Arquitetura

Há vários exemplos sobre o modo como o retângulo áureo se ajusta à construção do Parthenon. O Parthenon, agora em ruínas, é um dos templos que foi construído em Athenas por volta dos anos 430-440 a.C. e nele podemos observar a proporção Áurea. A planta do Parthenon mostra que o templo foi construído tendo por base um retângulo com comprimento igual a raiz quadrada de 5 e largura igual a 1.

Neste século, o arquiteto francês Le Corbusier utilizou também de relações harmônicas para projetar estruturas. O padrão utilizado por ele nas relações humanas foi o Modulor, que aparece na gravura abaixo.



Indústria e Comércio

Empresas usam a sequência de Fibonacci de uma forma intuitiva, até mesmo porque as dimensões associadas representam algo bonito e econômico, mas é provável que muitos usuários desta sequência e das relações áureas nem saibam que fazem uso da mesma.

Um cartão de crédito parece ter a forma das medidas áureas, sempre relacionadas com o número Phi. Você já experimentou medir as dimensões aproximadas de um cartão de crédito?

Construiremos um retângulo cujos lados medem 1 e 1,618034..., o retângulo Áureo

Construa um quadrado de lado unitário;
Divida um dos lados do quadrado ao meio;
Trace uma diagonal do vértice A do último retângulo ao vértice oposto B e estenda a base do quadrado;
Usando a diagonal como raio, trace um arco do vértice direito superior do retângulo à base que foi estendida;
Pelo ponto de interseção do arco com o segmento da base trace um segmento perpendicular à base. Estenda o lado superior do quadrado até encontrar este último segmento para formar o retângulo;
Este último é o retângulo Áureo!

Seja um retângulo em que X é a medida do comprimento e Y é a medida da altura do mesmo. Vamos supor que existe uma relação "especial" entre X e Y tal que X:Y=Y:(X+Y). Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, logo:

X.(X+Y) = Y2

e esta relação nos informa que Y é a média geométrica entre X e X+Y. Se calcularmos a razão entre Y e X obteremos Phi. O retângulo com estas dimensões é o retângulo áureo e os segmentos de medidas X e Y são os segmentos áureos. Tais medidas são usadas em testes para avaliar aspectos de beleza em gravuras ou objetos.


Dimensões áureas no homem

Faça uma análise com o uso da gravura abaixo para observar como um ser humano se adapta às dimensões áureas.


Referências

Existem muitos livros sobre o uso da Sequência de Fibonacci em situações da vida. Há um excelente livro publicado pela Editora Universidade de Brasília em 1985: "A divina proporção: Um Ensaio sobre a Beleza na Matemática", H.E.Huntley, Brasília-DF. Dentre as páginas da Web que conhecemos, a que fornece melhor tratamento geral sobre as Sequências de Fibonacci é: Fibonacci Numbers and The Golden Section.


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