Alegria Matemática: Sequências de Fibonacci: Propriedades matemáticas

A sequência de Fibonacci

A sequência de Fibonacci (lê-se:fibonati), é uma função f:NN, que será denotada aqui pelo seu conjunto imagem:

f(N)={1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,...}

Para conhecer aplicações sobre as Sequências de Fibonacci, veja nosso link sobre Aplicações das Sequências de Fibonacci.


Phi: O número de Ouro

A escola grega de Pitágoras estudou e observou muitas relações e modelos numéricos que apareciam na: natureza, beleza, estética, harmonia musical e outros, mas provavelmente a mais importante é a razão áurea, razão divina ou proporção divina.

Há muitos livros sobre o assunto, mas em português, existe um excelente livro publicado pela Editora Universidade de Brasília em 1985: A divina proporção: Um Ensaio sobre a Beleza na Matemática, H. E. Huntley, Brasília-DF.

Esta razão foi muito usada por Phidias, um escultor grego e em função das primeiras letras de seu nome usamos Phi para representar o valor numérico da razão de ouro:

Phi = = 1.618033988749895


Números de Fibonacci

Leonardo de Pisa (Fibonacci=filius Bonacci) matemático e comerciante da idade média, escreveu em 1202 um livro denominado Liber Abacci, que chegou a nós, graças à sua segunda edição de 1228. Este livro contém uma grande quantidade de assuntos relacionados com a Aritmética e Álgebra da época e realizou um papel importante no desenvolvimento matemático na Europa nos séculos seguintes pois por este livro que os europeus vieram a conhecer os algarismos hindus, também denominados arábicos. A teoria contida no livro Liber Abacci é ilustrada com muitos problemas que representam uma grande parte do livro.

Um dos problemas que está nas páginas 123 e 124 deste livro é o Problema dos pares de coelhos (paria coniculorum): Quantos pares de coelhos podem ser gerados de um par de coelhos em um ano? Um homem tem um par de coelhos em um ambiente inteiramente fechado. Desejamos saber quantos pares de coelhos podem ser gerados deste par em um ano, se de um modo natural a cada mês ocorre a produção de um par e um par começa a produzir coelhos quando completa dois meses de vida.

Como o par adulto produz um par novo a cada 30 dias, no início do segundo mês existirão dois pares de coelhos, sendo um par de adultos e outro de coelhos jovens, assim no início do mês 1 existirão 2 pares: 1 par adulto + 1 par recém nascido.

Coelhos

No início do 3o. mês o par adulto produzirá de novo mais um par enquanto que o par jovem terá completado 1 mês de vida e ainda não estará apto a produzir, assim no início do terceiro mês existirão três pares de coelhos, sendo: 1 par adulto + 1 par com 1 mês de idade + 1 par recém nascido.

No início do 4o. mês, existirão dois pares adultos sendo que cada um já produziu um novo par e um par novo que completou 1 mês, logo teremos 5 pares: 2 pares adultos + 1 par com 1 mês + 2 pares recém nascidos.

No início do 5o. mês, existirão três pares adultos sendo que cada um já produziu um novo par e dois pares novos que completaram 1 mês de vida, assim teremos 8 pares: 3 pares adultos + 2 pares(1 mês) + 3 pares recém nascidos.

No início do 6o. mês, existirão cinco pares adultos sendo que cada um já produziu um novo par e três pares novos que completaram 1 mês, assim existirão 13 pares: 5 pares adultos + 3 par com 1 mês + 5 pares recém nascidos.

Tal processo continua através dos diversos meses até completar um ano. Observa-se esta formação no gráfico com círculos, mas também pode-se perceber que a sequência numérica, conhecida como a sequência de Fibonacci, indica o número de pares ao final de cada mês:

{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...}

Esta sequência de números tem uma característica especial denominada recursividade:

1o.termo somado com o 2o.termo gera o 3o.termo
2o.termo somado com o 3o.termo gera o 4o.termo
3o.termo somado com o 4o.termo gera o 5o.termo
continua ...

Denotando a sequência por u=u(n) como o número de pares de coelhos ao final do mês n, poderemos escrever:

u(1) + u(2) = u(3)
u(2) + u(3) = u(4)
u(3) + u(4) = u(5)
u(4) + u(5) = u(6)
...   ...   ...

que é uma propriedade recursiva, isto é, que cada termo pode ser obtido em função dos termos anteriores. No final do mês 12, o número de pares de coelhos deverá ser 144.

Em geral, temos:

u(n+1) = u(n-1) + u(n)


Aplicações das Sequências de Fibonacci

Pergunta: Será que esta sequência numérica aparece em outras situações da vida? A resposta é positiva e é espantosa pela grande quantidade de situações onde ela ocorre. Apresentamos uma lista modesta e que poderá ser ampliada facilmente se o visitante procurar mais na literatura.

  1. Estudo genealógico de coelhos

  2. Estudo genealógico de abelhas

  3. Comportamento da luz

  4. Comportamento de átomos

  5. Crescimento de plantas

  6. Ascenção e queda em bolsas de valores

  7. Probabilidade e Estatística

  8. Curvas com a forma espiralada como: Nautilus (marinho), galáxias, chifres de cabras da montanha, marfins de elefantes, filotaxia, rabo do cavalo marinho, onda no oceano, furacão, etc.


Conexão da sequência de Fibonacci com o número de ouro

De que forma ocorre esta conexão com a razão de ouro Phi? Na verdade a sequência de Fibonacci é dada por:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

e os termos desta sequência são denominados números de Fibonacci. Pode-se tomar a definição desta sequência para todo n natural, como:

u(1)=1,   u(2)=1
u(n+1) = u(n-1) + u(n)

Esta sequência não é limitada superiormente, mas existe um fato interessante: Tomando as razões (divisões) de cada termo pelo seu antecessor, obtemos uma outra sequência numérica cujo termo geral é dado por:

f(n)=u(n+1)
u(n)

que é uma sequência limitada. Se considerarmos a sequência de Fibonacci como um conjunto da forma {1,1,2,3,5,8,13,...) e a divisão de cada número pelo seu antecessor, obteremos outra sequência:

1/1=1, 2/1=2, 3/2=1.5, 5/3=1.666..., 8/5=1.6, ...

É fácil perceber o que ocorre quando colocamos estas razões sucessivas (alturas) em um gráfico em que o eixo horizontal indica os elementos da sequência de Fibonacci:

As razões vão se aproximando de um valor particular, conhecido como Número de Ouro (Número Áureo), que é frequentemente representado pela letra grega Phi

Quando n tende a infinito, o limite é exatamente Phi, o número de ouro.

Phi= =Lim u(n+1)
u(n)
=1.618033988749895

Existem muitas sequências com as mesmas propriedades que a sequência de Fibonacci.

Exemplos:

A sequência abaixo indicada com a letra L recebe o nome de sequência de Lucas.

  1. L = {1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, ...}

  2. A = {5, 9, 14, 23, 37, 60, 97, ...}

  3. B = {-8, -4, -12, -16, -28, -44, ...}

Podemos construir uma sequência de Fibonacci z=z(n) muito geral, onde z(1)=a, z(2)=b e tomar para todo n natural:

z(n+1) = z(n-1) + z(n)

Obteremos então:

a, b, a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b, ...

Fica fácil observar que

z(n) = a u(n-2) + b u(n-1)

onde u=u(n) é a sequência normal de Fibonacci.

As diferenças entre elas estão relacionadas com a questão da convergência das razões de seus termos gerais pelos respectivos antecedentes, mas o valor Phi é exatamente o mesmo em qualquer caso.


Algumas propriedades dos números de Fibonacci

  1. Soma dos n primeiros números de Fibonacci

    u(1)+u(2)+u(3)+...+u(n-1)+u(n) = u(n+2) - 1

    Como:

    u(1)   = u(3)  -  u(2)
    u(2)   = u(4)  -  u(3)
    u(3)   = u(5)  -  u(4)
    u(4)   = u(6)  -  u(5)
      ... ... ...
    u(n-1) = u(n+1) - u(n)
    u(n)   = u(n+2) - u(n+1)
    

    Somando membro a membro todas as igualdades acima, obtemos o resultado desejado após o cancelamento que aparece no segundo membro, observando que u(2)=1.


  2. Somas dos números de Fibonacci de ordem ímpar

    u(1)+u(3)+u(5)+...+u(2n-1) = u(2n)

    Como

    u(1)    = u(2)
    u(3)    = u(4)  - u(2)
    u(5)    = u(6)  - u(4)
    u(7)    = u(8)  - u(9)
      ... ... ...
    u(2n-1) = u(2n) - u(2n-2)
    

    Somando membro a membro todas as igualdades acima, obtemos o resultado desejado após o cancelamento que aparece no segundo membro.


  3. Somas dos números de Fibonacci de ordem par

    u(2)+u(4)+u(6)+...+u(2n) = u(2n+1) - 1

    A soma de todos os números de Fibonacci até a ordem 2n é:

    u(1)+u(2)+u(3)+...+u(2n-1)+u(2n) = u(2n+2) - 1

    e a soma dos números de Fibonacci de ordem ímpar até 2n-1 é:

    u(1)+u(3)+u(5) + ... + u(2n-1) = u(2n)

    Subtraindo membro a membro as duas igualdades, restará somente a soma dos números de Fibonacci de ordem par no primeiro membro e u(2n+1)-1 no segundo membro.


  4. Soma alternada dos números de Fibonacci

    u(1)-u(2)+u(3)-u(4)+...+(-1)n+1u(n)=1+(-1)n+1u(n-1)

  5. Soma dos quadrados dos números de Fibonacci

    u²(1)+u²(2)+u²(3)+u²(4)+...+u²(n) = u(n) u(n+1)

    Primeiro observamos que para todo k natural:

    u(k)u(k+1)-u(k)u(k-1)=u(k)[u(k+1)-u(k-1)]=u²(k)

    Assim:

    u²(1) = u(1) u(2)
    u²(2) = u(2) u(3)  - u(2) u(1)
    u²(3) = u(3) u(4)  - u(3) u(2)
    u²(4) = u(4) u(5)  - u(4) u(3)
    u²(5) = u(5) u(6)  - u(5) u(4)
    ...
    u²(n) = u(n) u(n+1) - u(n) u(n-1)
    

    Somando membro a membro todas as igualdades acima, obtemos o resultado desejado após o cancelamento que aparece no segundo membro.


  6. Número de Fibonacci de ordem n+m

    Usando o Princípio de Indução Matemática sobre m natural, é possível mostrar que:

    u(n+m) = u(n-1) u(m) + u(n) u(m+1)

  7. Número de Fibonacci de ordem 2n

    Este é um caso particular do caso anterior com n=m e com ele é possível mostrar que o termo u(2n) é divisível pelo termo un, pois:

    u(2n)=u(n-1)u(n)+u(n)u(n+1)=u(n)[u(n-1)+u(n+1)]

  8. Diferença de quadrados de números consecutivos de ordem par (ímpar)

    u²(n+1) - u²(n-1) = u(2n)

    Como u(n)=u(n+1)-u(n-1), a fórmula anterior pode ser reescrita como

    u(2n) = [u(n+1) - u(n-1)] [u(n-1)+u(n+1)]

    ou ainda

    u(2n) = u²(n+1) - u²(n-1)


    Exercício: Como antes, tome m=2n para mostrar que:

    u(3n) = u³(n+1) + u³(n) - u³(n-1)

    Exercício: Use o Princípio da Indução Finita (PIF) sobre n inteiro não negativo, para mostrar que:

    1. u²(n+1) = u(n) u(n+2) + (-1)n

    2. u(1)u(2)+u(2)u(3)+...+u(2n-1)u(2n)=u²(2n)

    3. u(1)u(2)+u(2)u(3)+...+u(2n)u(2n+1)=u²(2n+1)-1

    4. nu(1)+(n-1)u(2)+(n-2)u(3)+...+u(n)=u(n+4)-n-3

    5. u(4)+u(8)+u(12)+...+u(4n)=u²(2n+1)-1


  9. Fórmulas do deslocamento de Fibonacci

    Ao estudar sequências de Fibonacci, observamos que:

    u(n) = 2 u(n-2) + 1 u(n-3)
    u(n) = 5 u(n-4) + 3 u(n-5)

    Nas fórmulas acima, aparecem as constantes 1, 2, 3 e 5, que são os quatro primeiros números de Fibonacci. Usando as relações acima, demonstre que:

    u(n) = u(k+1) u(n-k) + u(k) u(n-k-1)


Números de Fibonacci e o triângulo de Pascal

Se n!=fatorial(n), denotamos por Cm,n a combinação de m elementos com a taxa n (tomados n a n), como:

Cm,n= m!
n!(m-n)!

O triângulo de Pascal pode ser obtido numericamente, somando-se dois números consecutivos da mesma linha com o resultado posto em baixo do segundo somando ou através das combinações que aparecem na tabela abaixo:

1=C00
1=C101=C11
1=C202=C21  1=C2213=u7
1=C303=C31  3=C32  1=C33
1=C404=C41  6=C42  4=C43  1=C44
1=C505=C5110=C5210=C5310=C541=C55
1=C606=C6115=C6220=C6315=C646=C651=C66

A altura da combinação Cm,n é a soma dos índices que aparecem na combinação, isto é:

altura(Cm,n) = m+n

Por exemplo, as alturas das combinações C6,0, C5,1, C4,2, C3,3 são todas iguais a 6 e observamos que o 7o. termo da sequência de Fibonacci é dado por:

u(7) = C6,0 + C5,1 + C4,2 + C3,3

Esta propriedade relaciona o triângulo de Pascal com os números de Fibonacci, mostrando que a soma de todas as combinações Cm,n que aparecem no triângulo de Pascal, com uma mesma altura p de tal modo que p=m+n e m>n, coincide com o termo de ordem p+1 da sequência de Fibonacci, isto é:

u(p+1) = Cp,0 + Cp-1,1 + Cp-2,2 + Cp-3,3 + ... + Cp-n,n

sendo que p deve ser maior ou igual que 2n.


Propriedades lineares das sequências de Fibonacci

Se para todo inteiro n>1, é verdadeira a equação recursiva de Fibonacci u(n+1)=u(n-1)+u(n), seguem três fatos interessantes.

  1. A soma de sequências de Fibonacci é uma outra sequência de Fibonacci

    Sejam v=v(n) e w=w(n) sequências que satisfazem à equação recursiva de Fibonacci e z(n)=v(n)+w(n), então:

    z(n+1) = z(n-1) + z(n)

  2. O produto de um escalar por uma sequência de Fibonacci gera uma outra sequência de Fibonacci

    Se v=v(n) é uma sequência que satisfaz à equação recursiva de Fibonacci e k é um escalar real, então a sequência definida por (kv)(n))=k.v(n) satisfaz:

    (kv)(n+1) = (kv)(n-1) + (kv)(n)

  3. A Combinação linear de sequências de Fibonacci é uma sequência de Fibonacci

    Se v=v(n) e w=w(n) são sequências de Fibonacci não proporcionais, então toda sequência u(n) de Fibonacci pode ser escrita como combinação linear de v=v(n) e w=w(n).

    Demonstração: Existe uma propriedade das proporções que garante que a/b=c/d é equivalente a/b=(a+c)/(b+d). Usaremos este fato para mostrar inicialmente que:

    v(1)/w(1) é diferente de v(2)/w(2)

    usando a demonstração por absurdo. Negando a tese, vamos assumir que:

    v(1)/w(1) = v(2)/w(2)

    Pela propriedade das proporções:

    v(1)/w(1)=(v(1)+v(2))/(w(1)+w(2))=v(3)/w(3)

    De forma análoga, mostramos que:

    v(3)/w(3)=v(4)/w(4)=v(5)/w(5)=...=v(n)/w(n)=...

    mostrando que as sequências v=v(n) e w=w(n) são proporcionais, o que é um absurdo, assim podemos afirmar que:

    v(1)/w(1) é diferente de v(2)/w(2)

    e esta última relação equivale a afirmar que:

    v(1)w(2)-v(2)w(1) é diferente de zero

    Este cálculo será usado mais abaixo na regra de Cramer.

    Consideremos agora uma sequência de Fibonacci tal que:

    u(1) = a v(1) + b w(1)
    u(2) = a v(2) + b w(2)

    A partir de u(1) e u(2) podemos construir uma sequência de Fibonacci u=u(n) que é uma combinação linear de v=v(n) e w=w(n).

    Resolvendo o sistema com 2 equações e incógnitas a e b:

    u(1) = a v(1) + b w(1)
    u(2) = a v(2) + b w(2)

    obtemos, pela Regra de Cramer, que:

    a = [u(1)w(2)-u(2)w(1)]/[v(1)w(2)-v(2)w(1)]
    b = [v(1)u(2)-v(2)u(1)]/[v(1)w(2)-v(2)w(1)]

    e podemos garantir que para todo n natural, existem escalares a e b, tal que:

    u(n) = a v(n) + b w(n)


Fórmula de Binet

Com a última propriedade obtida podemos obter todas as soluções da equação recursiva de Fibonacci:

u(n+1) = u(n-1) + u(n)

válida para todo inteiro n>1, basta obter quaisquer duas soluções não proporcionais, assim pela propriedade linear da multiplicação por escalar, podemos escolher uma sequência de Fibonacci cujo primeiro termo seja igual a 1.

Vamos tomar então a sequência de Fibonacci w(n) que seja uma sequência geométrica com w(1)=1 e a razão não nula q, isto é: w(n)=qn-1. Para que esta sequência seja de Fibonacci, devemos ter que:

w(n-1) + w(n) = w(n+1)

ou seja

qn-2 + qn-1 = qn

que se reduz a:

1 + q = q²

Resolvendo esta equação do segundo grau obtemos as duas raízes:

q1 =    e   q2 =

Observamos que q1+q2=1 e q1.q2=-1. Para cada raiz, obtemos uma sequência de Fibonacci, construímos v=v(n) e w=w(n) por:

v(n) = q1n-1
w(n) = q2n-1

u=u(n) é uma combinação linear de v=v(n) e w=w(n), isto é:

u(n) = a v(n) + b w(n)

que pode ser escrito como

u(n) = a ()n-1 + b ()n-1

e esta é a forma mais geral possível para uma sequência de Fibonacci. Em particular, se a+b=1 e aq1+bq2=1, obteremos

Substituindo na expressão de u(n), obteremos a Fórmula de Binet:

que fornece o termo geral da sequência de Fibonacci com o uso do número Phi.

Para valores muito grandes de n, o segundo termo da Fórmula de Binet pode ser desprezado pois a base desta potência é um número real menor do que 1, assim é possível mostrar que quando n tende a infinito, a expressão matemática para u(n) é da ordem de (Phi)n, logo o quociente de u(n+1) por u(n) é da ordem de Phi, assim o limite do quociente entre um número de Fibonacci e o seu antecedente converge para o número de ouro Phi, isto é:

Phi= =Lim u(n+1)
u(n)
=1.618033988749895

Função geratriz dos números de Fibonacci

Um modo para obter uma sequência de números inteiros é construir uma função geratriz B=B(x) como uma série formal de potências:

B(x) = b(0)+b(1)x+b(2)x²+b(3)x³+b(4)x4+b(5)x5+ ...

cujos coeficientes b(i) sejam os valores da sequência que desejamos. O principal aqui, é a construção de B(x) através de uma fórmula analítica onde os b(i) aparecem naturalmente.

Existem também expressões em formas fechadas, que é o caso de algumas séries de potências convergirem para uma função que não inclui somas infinitas. Por exemplo, a sequência f(n)=2n-1 para n inteiro (n>1). O conjunto imagem desta função é:

f(N)={1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...}

pode ser representada pela função geratriz:

B(x) = 1 + 2x + 4x² + 8x³ + 16x4 + 32x5 + ...

que pode ser escrita na forma:

B(x)=1
1-2x

mas para que isso faça sentido, deve ocorrer a convergência da série, o que depende do fato que |2x|<1. Por isto dissemos no início que esta é uma série formal.

Ainda nesta página, apresentaremos a divisão longa (ou russa), que justifica a divisão 1/(1-2x) para obter a série formal apresentada.

Tendo em vista o que apresentamos acima, vamos assumir que exista uma função geratriz dos números da sequência de Fibonacci e vamos tentar encontrar uma relação que tenha algo a ver com o comportamento dos coeficientes desta função.

Tomemos uma função não nula B=B(x) que pode ser escrita como a soma formal:

soma formal

Se F0=F1=1 e Fk=Fk-1+Fk-2 para todo k>1, segue que

que pode ser expandido como

Pondo x em evidência na primeira soma e x² na segunda soma, obteremos

Mudando os índices, podemos escrever:

que pode ser simplificada para

Extraindo o valor de B=B(x), segue que:

B(x)=1
1-x-x²

que é a função geratriz dos números de Fibonacci. Desse modo, a divisão longa de 1 por (1-x-x²), fornece a série formal de potências cujos coeficientes são os números da sequência de Fibonacci.


Divisão de polinômios

Para dividir o polinômio p(x)=x³-3x²+3x-1 por d(x)=x-1, montamos uma tabela semelhante à divisão de dois números inteiros. Os coeficientes dos termos de mais alto grau são muito importantes. Neste tipo de divisão, as potências são indicadas por ordem decrescente, tanto no dividendo como no divisor.

  1. Dividimos x³ por x para obter o quociente x², que é posto debaixo do divisor x-1.

    dividendo -3x²+3x-11x-1divisor
    -produto quociente
    resto   

  2. Multiplicamos o quociente x² pelo divisor x-1 e trocamos o sinal para obter -x³+x² e colocamos este produto negativo de uma forma organizada em baixo do dividendo x³-3x²+2x-1;

    dividendo x³-3x²+3x-1x-1divisor
    -produto-x³+1x²quociente
    resto   

  3. Somamos o dividendo com o produto negativo pondo o resultado em baixo na mesma coluna no local indicado com a palavra resto.

    dividendo x³-3x²+3x-1x-1divisor
    -produto-x³+1x²quociente
    resto   -2x²+3x-1  

  4. Dividimos agora -2x² que é o termo dominante do resto por x que é o termo dominante do divisor para obter -2x e este último deve ser posto na frente do termo x² que está no quociente.

    dividendo x³-3x²+3x-1x-1divisor
    -produto-x³+1x²-2xquociente
    resto   -2x²+3x-1  

  5. Multiplicamos -2x por x-1, trocamos o sinal e colocamos o produto=2x²-2x sob a expressão do resto.

    dividendo x³-3x²+3x-1x-1divisor
    -produto-x³+1x²-2xquociente
    resto   -2x²+3x-1  
    -produto   +2x²-2x  

  6. Somamos o resto com o último produto negativo para obter o último resto x-1.

    dividendo x³-3x²+3x-1x-1divisor
    -produto-x³+1x²-2xquociente
    resto   -2x²+3x-1  
    -último produto   +2x²-2x  
    último resto       +1x-1  

  7. Dividimos o último resto x-1 pelo divisor x-1 para obter 1 e este número a posto à direita junto ao quociente.

    dividendo x³-3x²+3x-1x-1divisor
    -produto-x³+1x²x²-2x+1quociente
    resto   -2x²+3x-1  
    -último produto   +2x²-2x  
    último resto       +1x-1  

  8. Multiplicando 1 pelo divisor x-1, trocamos o sinal e colocamos este resultado em baixo do último resto no local indicado com o último produto negativo.

    dividendo x³-3x²+3x-1x-1divisor
    -produto-x³+1x²x²-2x+1quociente
    resto   -2x²+3x-1  
    -último produto   +2x²-2x  
    último resto       +1x-1  
    -último produto       -1x+1  
  9. Somamos o último resto com o último produto negativo para obter 0.

    dividendo x³-3x²+3x-1x-1divisor
    -produto-x³+1x²x²-2x+1quociente
    resto   -2x²+3x-1  
    -último produto   +2x²-2x  
    penúltimo resto       +1x-1  
    -último produto       -1x+1  
    último resto       0  

    Concluímos que a divisão de p=p(x)=x³-3x²+3x-1 pelo divisor x-1 é o quociente q=q(x)=x²-2x+1. Como o último resto é igual a 0, segue que a divisão é exata.


Divisão longa

A divisão longa é um pouco diferente, embora utilizemos vários dos procedimentos anteriores. Os termos têm as potências colocadas em ordem crescente, tanto no dividendo como no divisor. Vamos construir a divisão longa da função f(x)=1 pela função polinomial g(x)=1-x-x². Indicamos o dividendo à esquerda com 1 e o divisor com 1-x-x².

  1. Na divisão longa, as constantes do dividendo e do divisor são importantes. Na divisão polinomial os termos importantes eram os termos dominantes do dividendo e do divisor.

    11-x-x²
     1

  2. Dividimos 1 do dividendo pelo 1 do divisor e obtemos 1 no quociente. Multiplicamos este quociente=1 pelo divisor, trocamos o sinal para por o produto=-1+x+x² sob o dividendo do momento. Após isto, realizamos a adição do resultado com o dividendo, para obter x+x² que será o novo dividendo no passo seguinte.

    +11-x-x²
    -1+x+x²1
       x+x² 

  3. Agora o termo x do dividendo do momento x+x² e o termo 1 do divisor são os termos importantes. Dividimos x (dividendo) por 1 (divisor) para obter x. Multiplicamos este x por todo o divisor, trocamos o sinal, para obter o resultado=-x+x²+x³. Pomos este resultado de baixo do dividendo do momento. Realizamos a soma para obter 2x²+x³:

    +11-x-x²
    -1+x+x²1+1x
       x+x² 
      -x+x²+x³ 
        2x²+x³ 

  4. Agora o termo 2x² do dividendo do momento 2x²+x³ e o termo 1 do divisor são os termos importantes. Dividimos 2x² (dividendo) por 1 (divisor) para obter 2x². Multiplicamos este 2x² por todo o divisor, trocamos o sinal, para obter o resultado=-2x²+2x³+2x4. Colocamos este resultado de baixo do dividendo do momento. Realizamos a soma para obter 3x³+2x4:

    +11-x-x²
    -1+x+x²1+1x+2x²
       x+x² 
      -x+x²+x³ 
        2x²+1x³ 
       -2x²+2x³+2x4 
            3x³+2x4 

  5. Agora o termo 3x³ do dividendo do momento 3x³+2x4 e o termo 1 do divisor são os termos importantes. Dividimos 3x³ (dividendo) por 1 (divisor) para obter 3x³. Multiplicamos este 3x³ por todo o divisor, trocamos o sinal, para obter o resultado=-3x³+3x4+3x5. Colocamos este resultado de baixo do dividendo do momento. Realizamos a soma para obter 5x4+3x5:

    +11-x-x²
    -1+x+x²1+1x+2x²+3x³
       x+x² 
      -x+x²+x³ 
        2x²+1x³ 
       -2x²+2x³+2x4 
            3x³+2x4 
           -3x³+3x4+3x5 
                5x4+3x5 

  6. Agora o termo 5x4 do dividendo do momento 5x4+3x5 e o termo 1 do divisor são os termos importantes. Dividimos 5x4 (dividendo) por 1 (divisor) para obter 5x4. Multiplicamos este 5x4 por todo o divisor, trocamos o sinal, para obter o resultado=-5x4+5x5+5x6. Pomos este resultado de baixo do dividendo do momento. Realizamos a soma para obter 8x5+5x6:

    +11-x-x²
    -1+x+x²1+1x+2x²+3x³+5x4
       x+x² 
      -x+x²+x³ 
        2x²+1x³ 
       -2x²+2x³+2x4 
            3x³+2x4 
           -3x³+3x4+3x5 
                5x4+3x5 
               -5x4+5x5+5x6 
                    8x5+5x6 

  7. Para os outros coeficientes desta série formal, devemos continuar o processo de divisão. A sequência de Fibonacci está no quociente da divisão de 1 por 1-x-x².

    11-x-x²
    resto1+1x+2x²+3x³+5x4+...

Existem abordagens diferentes para estudar as sequências de Fibonacci, como: Equações de diferenças finitas, Frações Contínuas, Teoria dos Números. Recomendamos que o interessado pesquise o assunto, pois ele é multi-disciplinar e o estudo produz muitos resultados interessantes.


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