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Amarra-se um burro em um ponto B da circunferência de uma região circular de raio R contendo grama para alimento do burro. Considerando que o burro só poderá comer a metade da grama, qual será o tamanho da corda que aqui será indicada por c=R+d?

O objetivo do problema é dividir o círculo em duas partes com áreas equivalentes.

Para resolver este simples problema, utilizamos diversos conceitos matemáticos não triviais contidos em Geometria Analítica plana e Cálculo Diferencial e Integral, como:

1. Interseção de circunferências em R².

2. Equações de circunferências centradas na origem e fora dela.

3. Coordenadas polares com o polo fora da origem.

4. Descrição de uma região plana em coordenadas polares.

5. Mudança de variáveis em uma integral dupla.

6. Cálculo de área com uma integral dupla.

7. Solução numérica de uma equação.

8. Uso da Planilha Excel para resolver uma equação.

Como alternativa para obter a resposta, tomaremos C1 a circunferência de raio R com centro em (0,0):

x²+ y²= R²

e construiremos uma circunferência C2 com raio R+d e centro no ponto B=(R,0) onde está amarrado o burro:

(x-R)²+ y²= (R+d)²

Visando seccionar o círculo em duas partes de modo que ambas tenham a mesma área, deveremos calcular a área da região marcada em azul, localizada entre as duas circunferências e impor a condição para que esta área seja a metade da área do círculo de raio R, isto é:

Área = ½ R²

Na sequência, obteremos a abscissa z do ponto de interseção das circunferências, que é obtida pela resolução do sistema formado pelas equações:

x²+ y²= R²
 (x-R)²+ y²= (R+d)²

O valor de z depende de d e de R e é dado por:

Escrevemos as equações das duas circunferências em Coordenadas Polares, substituindo x=R+p cos(t) e y=p sen(t), para obter:

p = R+d
 p = -2R cos(t)

sendo que estas curvas são apropriadas para o cálculo da área, na região em que t pertence ao intervalo [-t_o,t_o].

A função inversa de cos() existe em um certo intervalo e é definida como arccos() ou acos(), que, em um ponto z, se lê, arco cujo cosseno é igual ao argumento z, assim

Em virtude da simetria da região, a área A pode ser obtida pela integral dupla sobre a região marcada de azul, ou seja:

e esta integral proporciona:

Todos os nossos cálculos dependem de R e de d e é claro que o valor de d depende de R, logo, se tomarmos em particular R=1, teremos:

A = (1-2d-d²) acos((1+d)/2) + ½ [3+4d-2d²-4d³-d⁴]^½

Para R=1, devemos obter um valor de d que nos fornece a área A= /2, o que significa que:

(1-2d-d²) acos((1+d)/2)+½[3+4d-2d²-4d³-d⁴]^½-/2=0

Esta equação não é facilmente resolvida por métodos comuns, razão pela qual, apresentaremos um método que usa uma Planilha de Cálculo como a Excel, disponível em muitos computadores:

Praticando: Com a planilha Excel calcule d, usando o método:

1. Abra a planilha Excel e você verá uma pasta em branco;

2. Com o cursor localizado sobre a célula A1, pressione o botão esquerdo do mouse sobre Inserir, Nome e Definir. Insira a letra d na caixa. Pressione o botão esquerdo do mouse sobre Adicionar e OK;

3. Na célula B1, escreva:

   =(1-2*d-d^2)*ACOS((1+d)/2)+RAIZ(3+4*d-2*d^2-4*d^3-d^4)/2-PI()/2

   Sugiro que copie esta linha para a célula B1 da planilha.

4. Selecione as células A1 e B1 juntas. Pressione o mouse sobre: Formatar, Células..., Número, Casas decimais=15 e OK;

5. Pressione o mouse sobre: Ferramentas, Atingir Meta..., Definir célula=B1, Para valor=0, Variando célula=A1, OK, OK;

6. O valor não é ótimo mas serve para se usar na prática:

   d=0,158726022422574, Expressão=0,000005411364185

   significando que a planilha só forneceu os 5 primeiros algarismos exatos após a vírgula!

Com o método numérico de Newton-Raphson, obtemos o valor abaixo com 10 dígitos exatos após a vírgula:

d = 0,1587284715

Para um raio R arbitrário, o comprimento da corda será:

c=R+d= R(1+0,1587284715) = R(1,1587284715)

Do ponto de vista prático, se você tomar uma corda com uma medida 15,87% a mais do que o raio do círculo, você terá um excelente cálculo!

Exercício: Obter as medidas das cordas c para que as áreas das regiões ocupadas pelo burro sejam, respectivamente iguais a, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, ... da área do círculo.

	Construída por Ulysses Sodré.