Alegria Matemática: Aplicações da Matemática

Transporte de containers: Sistemas Lineares

Uma companhia de navegação tem três tipos de recipientes A, B e C, que carrega cargas em containers de três tipos I, II e III. As capacidades dos recipientes são dadas pela matriz:

MatrizTipo ITipo IITipo III
Recipiente A432
Recipiente B523
Recipiente C223

Quais são os números de recipientes x1, x2e x3de cada categoria A, B e C, se a companhia deve transportar 42 containers do tipo I, 27 containers do tipo II e 33 containers do tipo III. A montagem do sistema linear fica na forma:

4 x1+ 5 x2+ 2 x3= 42
3 x1+ 2 x2+ 2 x3= 27
2 x1+ 3 x2+ 3 x3= 33

A resolução do sistema linear indicará o número de containers de cada tipo.


Antígenos: Teoria dos Conjuntos

O sangue humano contém três possíveis antígenos denotados por: A, B e Rh. Dependendo dos antígenos presentes, existem oito possíveis tipos sangüineos conhecidos por:

A-A+B-B+AB-AB+O+O-

Os antígenos presentes em cada sangue podem ser descritos através de um diagrama de Venn-Euler na figura:

img443

No diagrama, os conjuntos indicados respectivamente por A, B e Rh contêm os antígenos A, B e Rh, e, o desenho mostra que existem três conjuntos de informações que possuem interseções, sendo estas importantes por determinar certo tipo sangüíneo comum.

Podemos construir uma tabela que informa os tipos de sangue e os tipos de antígenos que os mesmos possuem, colocando simquando um tipo de sangue contém um determinado antígeno.

Tipo de sangueAntígeno AAntígeno BAntígeno Rh
A-Sim  
A+Sim Sim
B- Sim 
B+ SimSim
AB-SimSim 
AB+SimSimSim
O+  Sim
O-   

Esta tabela significa, do ponto de vista da Teoria de Conjuntos, que, por exemplo AB+ pertence aos três conjuntos enquanto que AB- pertence somente aos conjuntos A e B. O sangue O- não pertence a nenhum dos três conjuntos A, B e Rh.


Sangue humano: Matrizes, Conjuntos, Relações, Lógica

Matrizes de dupla entrada são importantes nas ciências em geral. Apresentaremos uma situação real onde as matrizes são utilizadas como forma de apresentação de informações vitais para o ser humano.

Um ser humano tem quatro tipos de sangue: A, B, AB e O e tais tipos dependem das proteínas encontradas nos glóbulos vermelhos e no plasma sangüíneo. As proteínas dos glóbulos vermelhos são denominadas aglutinogêneos e as proteínas do plasma são as aglutininas. Os aglutinogêneos são de dois tipos: A e B. As aglutininas também são de dois tipos: a e b.

Consideremos algumas pessoas com os seus tipos sanguíneos identificados na tabela:

PessoaTipo
sanguíneo
Aglutinogêneos
nos glóbulos
Aglutininas
no plasma
P1AAb
P2BBa
P3ABA e Bnão tem
P4Onão tema e b

Em função das informações acima, podemos usar o diagrama de Venn-Euler da Teoria de Conjuntos, para a construção de gráficos para melhor entender o papel do aglutinogêneo e da aglutinina.

AglutinogêneoAglutinina
s01 s02

Se um determinado sangue tem um aglutinogêneo diferente daquele que possuímos, o nosso corpo trata o outro tipo de aglutinogêneo como um intruso e ocorre a rejeição do sangue.

Se o indivíduo P1 recebesse a transfusão de sangue de P2, então as suas aglutininas b iriam fazer com que as novas células sanguíneas se aglutinassem e desta forma não poderiam se deslocar pelo corpo. Tendo em vista esta situação, as células não conseguiriam distribuir Oxigênio pelo corpo humano, pondo esta pessoa sob sério risco de vida.

Também o sangue de tipo B rejeita o sangue de tipo A pelo mesmo motivo citado anteriormente.

O sangue de tipo O também não é compatível com qualquer dos outros A, B e AB, razão pela qual os doadores e receptores fazem análises de tipos sanguíneos antes de uma doação no sentido de evitar rejeição. Na verdade, nenhum dos tipos de sangue têm uma reação ruim ao sangue de tipo O, o que acontece é que não existem aglutinogêneos nos glóbulos vermelhos capazes de provocar reações a outros tipos de sangue.

Em função do que citamos acima, toda a pessoa que possui o sangue tipo O, recebe o nome de doador universal o que permite que ele possa doar sangue a todas as pessoas.

Uma pessoa com sangue AB tem proteínas A e B, logo poderá receber sangue de qualquer pessoa, o que a torna uma receptora universal.

Levando em consideração a possibilidade de doação de sangue, podemos construir um exemplo prático onde aplicamos o conceito matemático de Relação:

OsetaO
OsetaA
OsetaB
OsetaAB
AsetaA
AsetaAB
BsetaB
BsetaAB
ABsetaAB
s03

Os sentidos das doações podem ser visualizados pela Relação matemática gráfica (à direita), considerando as setas da esquerda para a direita.

Os glóbulos vermelhos de alguns indivíduos contêm uma proteína denominada fator Rh, razão pela qual o sangue de quem a possui é indicado com Rh+ (Rh positivo). Quando um indivíduo não possui o fator Rh, dizemos que o seu sangue é Rh- (Rh negativo). Pessoas com fator Rh- somente podem receber sangue de outras pessoas com fator Rh-. Se uma pessoa com fator Rh- receber sangue com fator Rh+, haverá reação e uma rejeição ao sangue Rh+ após a primeira transfusão de sangue.

Rh-ssRh- mas Rh+snRh-

Aqui, fizemos uso de um outro tipo de gráfico bastante comum para mostrar a forma como a Matemática funciona como uma ferramenta essencial nos contextos científicos.


O diâmetro da Terra: Regras de três e Trigonometria

diametroO diâmetro da Terra foi medido pela primeira vez por Eratóstenes. Este feito foi obtido sem que ele saisse da biblioteca em que trabalhava, localizada na cidade de Alexandria, no norte do Egito, entre 276 a.C e 196 a.C. Eratóstenes era o responsável pela biblioteca do museu, tinha muitos interesses sobre as ciências e ouviu comentários de viajantes que tinham estado na cidade de Siene, onde está localizada hoje a represa de Assuam, que exatamente ao meio dia do primeiro dia de verão (21 de junho), o Sol se colocava sobre as cabeças das pessoas, dirigindo os raios de uma forma vertical. Olhando-se um poço profundo, podia-se ver o reflexo do Sol no fundo do poço. Eratóstenes observou que neste mesmo dia e hora em Alexandria havia uma sombra provocada por raios solares que não estavam sendo projetados verticalmente, mas formando um ângulo um pouquinho maior que 7° em relação à cidade de Siene que ficava 800Km mais ao Sul.

Partindo destas informações e levando em consideração que muitas medidas da época eram imprecisas, Eratóstenes calculou o diâmetro da Terra fazendo a seguinte análise:

Se uma circunferência tem 360° e um deslocamento angular de 7° corresponde aproximadamente a 1/50 de um círculo e esta medida em graus equivale a 800Km, então a volta completa deverá corresponder ao diâmetro da Terra, que deverá ser aproximadamente 800×50Km=40.000Km.

Atualmente, o diâmetro da Terra mede 39.830 Km e observamos que a medida obtida para a época era excelente.

Observamos que a simples análise de uma regra de três simples e direta permitiu tal cálculo juntamente com outra idéia matemática de que a projeção de raios solares pode ser observada através da montagem de um triângulo retângulo e a medida do diâmetro pode ser calculada sem o acesso real ao local da medida. Percebemos aqui a importância dos conceitos de trigonometria e de semelhança de triângulos.


Lançamento de projéteis: Vetores e a Parábola

Lançamentos de projéteis são comuns em Cinemática e estão relacionados com o estudo da parábola.

Consideremos o lançamento de um dardo de massa m a partir da origem do sistema cartesiano e suponhamos que no instante inicial ele sai da origem com velocidade inicial vo (Vamos admitir que vo seja a intensidade da velocidade) formando um ângulo a (ou a letra grega alfa) de lançamento com o eixo horizontal.

img444

O vetor vopode ser decomposto em suas componentes horizontal e vertical como:

vo(horizontal) = vcos(a),    vo(vertical)  =  vsen(a)

Se não levarmos em consideração o fato que existe a resistência do ar, vento, etc, a única força que atuará sobre o objeto lançado será a força devida à aceleração da gravidade g.

Neste caso a curva descrita pelo objeto será o gráfico formado pelos pontos (x,y)=(x(t),y(t)) do plano, onde t é o tempo em cada instante, a essas coordenadas são dadas por:

x(t) = vo cos(a) t
y(t) = vo sen(a) t - (1/2) g t²

Extraindo o valor de t na primeira expressão e substituindo na segunda, obtemos uma família de parábolas:

y = tan(a) -g x²/(2vo² cos²(a))

Desse modo, a altura máxima atingida pelo objeto é dada por:

Ymax= (1/2g) vo² sen(2a)

e o alcance máximo horizontal atingido pelo objeto é:

Xmax= vo² sen(2a)/g

O tempo que o objeto permanece no ar até atingir o solo é:

t = 2 vosen(a)/g

A maior distância horizontal é atingida quando sen(2a)=1, isto é, quando o ângulo de lançamento é:

a = 45 graus

Em todos os lançamentos, observamos que o ângulo a (alfa) exerce um papel importante.

Tomando a velocidade inicial vo fixa, g=9,81m/s² e permitindo todas as possibilidades para a variação do ângulo a de lançamento, observamos que para cada a, podemos construir uma parábola diferente mas um fato muito interessante é que todas elas estarão dentro de uma outra parábola maior denominada parábola de segurança.

Esta parábola de segurança funciona como uma curva localizada no plano cartesiano, de forma que se uma pessoa localizada na origem do sistema começar a arremessar dardos em todas as direções, e se você estiver fora desta região parabólica que contém a origem, você estará seguro pois nenhum dardo o atingirá.


Produção de medicamentos: Sistemas Lineares

Todo dia, um laboratório produz 100 gramas de um perigoso ingrediente L1, que é usado para a confecção de remédios (drogas) A, B, C e D. Estes remédios necessitam de L1 na sua confecção, de modo que:

Cada 1 grama de RemédioNecessita de L1 em gramas
A0,1
B0,3
C0,5
D0,2

Para prevenir qualquer desastre com o perigoso L1, o laboratório deve usar todas as 100g produzidas na confecção de x1gramas de A, x2gramas de B, x3gramas de C e x4gramas de D e para que isto aconteça, devemos ter:

0,1 x1 + 0,3 x2 + 0,5 x3 + 0,2 x4 = 100

que é uma equação linear em x1, x2, x3e x4.

Supondo além disso que, na produção dos remédios A, B, C e D, haja a necessidade de um outro ingrediente I2 de modo que:

Cada 1 grama de RemédioNecessita de L2 em gramas
A0,4
B0,2
C0,3
D0,8

Se o laboratório produz 300g do ingrediente L2, este deseja saber qual a produção x1gramas de A, x2gramas de B, x3gramas de C e x4gramas de D de forma que todas as 300 g de I2 sejam utilizadas, então temos:

0,4 x1 + 0,2 x2 + 0,3 x3 + 0,8 x4 = 300

que é uma outra equação linear em x1, x2, x3e x4.

Assim, temos um sistema com 2 equações lineares:

0,1 x1 + 0,3 x2 + 0,5 x3 + 0,2 x4 = 100
0,4 x1 + 0,2 x2 + 0,3 x3 + 0,8 x4 = 300

Resolvendo este sistema observamos que existem infinitas soluções (sendo algumas inteiras):

Solução 1: x1=305, x2=15, x3=50, x4=200
Solução 2: x1=104, x2=32, x3=40, x4=300

Em casos práticas, a escolha dos números deve estar de acordo com o custo, demanda dos produtos, materiais disponíveis, bem como o custo do trabalho.

Este problema está envolvido com os conceitos matemáticos de equação linear e sistema de equações lineares.


Psicologia: Produto Cartesiano

Num experimento em Psicologia, um rato é posto em uma célula com três portas a, b e c.

img446

O rato deixa a célula por uma das portas. Ao alcançar a interseção ela vira à esquerda ou à direita e na próxima interseção ele vira à esquerda ou à direita novamente.

Considerando E={a,b,c} e V={esquerda,direita}, o caminho que o rato pode tomar pode ser representado como um elemento do produto cartesiano:

Produto = E × V× V

São 12 os caminhos possíveis que podem ser obtidos com:

n(Produto) = n(E) × n(V) × n(V)

onde n(X) é o número de elementos do conjunto X.


Nutrição: Desigualdades e Otimização

Um nutricionista quer produzir um alimento contendo dois tipos de compostos:

UnidadesComposto AComposto B
Ferro12
Vitamina D22
Calorias34

Se cada alimento deve ter no mínimo 8 unidades de Ferro e 10 unidades de Vitamina D, quantas unidades de cada composto devem ser colocadas para que o alimento tenha a menor quantidade de calorias.

Associaremos x com o composto A e y com o composto B. A função objetivo que define as unidades de calorias será indicada por:

z = 3x + 4y

A quantidade de cada composto não pode ser negativa, logo: x>0 e y>0.

Com relação às unidades de Ferro, deve-se ter que:

1x + 2y > 8

pois entram, 1 unidade do composto A e 2 unidades do composto B, com o mínimo de 8 unidades.

Com relação às unidades de Vitamina D, deve-se ter que:

2x + 2y > 10

pois entram 2 unidades do composto A e 2 unidades do composto B, com o mínimo de 10 unidades.

Reunindo todas as desigualdades, teremos a função objetivo:

z = 3x + 4y

sujeita às restrições:

x>0,   y>0
 1x + 2y>8
 2x + 2y>10

Geometria do problema:

img447

Solução do problema:

  1. Construir um plano cartesiano e identificar o vetor (3,4) que aparece na função objetivo;

  2. Construir as retas x+2y=8 e 2x+2y=10;

  3. Sombrear a região do primeiro quadrante localizada acima das retas x+2y=8 e 2x+2y=10;

  4. Construir uma reta perpendicular ao vetor (3,4);

  5. Traçar várias retas paralelas a esta última de forma que estas retas estejam localizadas sobre a região sombreada;

  6. Dentre todas as retas traçadas, procure a que passa mais próximo da origem do sistema obtendo o par (x,y) que pertence a esta reta e ainda está na região sombreada. Este será o par que resolve o sistema.

  7. A solução será o ponto P=(2,3) que é a interseção das retas x+2y=8 e 2x+2y=10 e que também está na reta perpendicular ao vetor (3,4) mais próxima da origem do sistema.


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